График построй в каком-нибудь построителе графиков онлайн, лень рисовать. Чтобы была одна общая точка нужно, чтобы уравнение (x+1)(x^2-5x+4)/x-4 = с имело ровно один корень. Я подозреваю, кстати, что ты ошиблась: в условии должна быть функция (x+1)(x^2-5x+4)/(x-4). Это важное отличие. Уравнение соответственно (x+1)(x^2-5x+4)/(x-4) = с Заметь, что: x^2-5x+4 = (х-4)(х-1) А значит при х не равном 4: (x+1)(x^2-5x+4)/(x-4) = (х+1)(х-1) То есть нам нужно, чтобы (х+1)(х-1) = с имело единственное решение. x^2-1 = c x^2=1+c Когда имеет единственное решение? Когда (1+c) = 0. То есть с = -1.
P.S. Когда график будешь строить обрати внимание, что точка (4; 15)
Находим первую производную функции:
y' = (x-4)² * (2*x-2)+(x-1)² * (2*x-8)
или
y' = 2(x-4)(x-1)(2*x-5)
Приравниваем ее к нулю:
2(x-4)(x-1)(2*x-5) = 0
x₁ = 1
x₂ = 5/2
x₃ = 4
Вычисляем значения функции
f(1) = 0
f(5/2) = 81/16
f(4) = 0
ответ: fmin = 0; fmax = 81/16
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 2(x-4)²+2(x-1)²+2(2*x-8)(2*x-2)
или
y'' = 12*x ²- 60*x + 66
Вычисляем:
y''(1) = 18>0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.
y''(4) = 18>0 - значит точка x = 4 точка минимума функции.