Скласти три різні квадратні рівняння у кожного з яких будуть корені 1.5 та 2.7

👇

Увидеть ответ

Открыть все ответы

Ответ:

liza10pav

31.12.2020

Сначала разделим левую и правую часть уравнения на x, получим:

$y'+\frac{2}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Решим сначала однородное уравнение, вида:

$y'+\frac{2}{x}y=0$

Это уравнение с разделяющимися переменными, получаем: $\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=0$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{x}y$

$\frac{dy}{y}=-\frac{2}{x}dx$

Берем интеграл от обоих частей получаем:

$\int{\frac{dy}{y}}=-\int\frac{2}{x}dx$

ln(y)=-2ln(x)

$y=\frac{C}{x^2}$

Дальше методом вариации свободной постоянной ищем частное решение неоднородного уравнения:

Представляем C как функцию от х, т.е C=C(x) и подставляем выражение $y=\frac{C(x)}{x^2}$ в исходное уравнение. Получаем:

$\frac{xC'(x)-2C(x)}{x^3}+\frac{2}{x}\frac{C(x)}{x^2}=\frac{1}{x^2}$

Сокращаем подобные и прочее, получаем:

$\frac{C'(x)}{x^2}=\frac{1}{x^2} \\ C'(x)=1 \\ C(x)=x$

Подставляем получившееся значение C(x) в выражение $y=\frac{C}{x^2}$ и получаем частное решение $y=\frac{1}{x}$

В итоге общее решение неоднородного уравнения это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Т.е.

$Y=\frac{C}{x^2}+\frac{1}{x}$

Все, уравнение решено. Теперь решаем задачу Коши:

Т.к. $y_0=1\\x_0=3$

то приходим к уравнению $1=\frac{C}{9}+\frac{1}{3}\\ \frac{C}{9}=\frac{2}{3}\\ C=6$

Все, нашли С, теперь пишем решение задачи Коши:

$Y_0=\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x}$

ответ: Общее решение дифференциального уравнения:

$Y=\frac{C}{x^2}+\frac{1}{x}$

Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющиего начальному условию y_0=1, x_0=3 :

$Y_0=\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x}$

4,7(35 оценок)

Ответ:

JiJiMi

31.12.2020

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции.
Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума,
а если максимум — точкой максимума.

А теперь решение:

1)
$\displaystyle y=x^3-6x^2$

необходимое условие экстремума функции одной переменной- в этой точке первая производная функции должна обращаться в нуль.

Найдем производную
$\displaystyle y`=(x^3-6x^2)`=3x^2-12x$

приравняем ее к нулю

$\displaystyle 3x^2-12=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0; x_2=4$

у нас две точки экстремума. Определим теперь какие это точки (максимума или минимума)

- Точка x₀ называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≤f(x₀)
- Точка x₀ называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство: f(x)≥f(x₀)

Как это выглядит на решении?

нарисуем числовую прямую и отметим на ней точки- экстремумы и проверим знак производной на полученных интервалах:

+ - +
------- 0 ------------ 4 -----------

Значит на промежутке (-оо;0) функция возрастает
на промежутке (0;4) - убывает
на промежутке (4;+оо) - возрастает

Значит х=0 точка максимума
значит х=4 точка минимума

Значение функции в точке х=0
$\displaystyle y(0)=0$ - максимальное значение

значение функции в точке х=4
$\displaystyle y(4)=4^3-6*4^2=64-96=-32$ -минимальное значение

Далее решает по аналогии

2)
$\displaystyle y=x^4-4x^3$

найдем точки экстремума

$\displaystyle y`=(x^4-4x^3)`=4x^3-12x^2$

$\displaystyle 4x^3-12x^2=0\\4x^2(x-3)=0\\x_1=0; x_2=3$

+ - +
----- 0 --------- 3 ------------
на промежутке (-оо;0) и (3;+оо) - возрастает
на промежутке (0;3) убывает

х=0 точка максимума $\displaystyle y(0)=0$ максимальное значение функции
х=3 точка минимума $\displaystyle y(3)=3^4-4*3^3=81-108=-27$ минимальное значение функции

3)
$\displaystyle y= \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5$

$\displaystyle y`=( \frac{x^3}{3}+x^2-3x+5)`=x^2+2x-3$

$\displaystyle y`=0\\x^2+2x-3=0\\D=4+12=16=4^2\\x_1=1: x_2=-3$

+ - +
------ - 3 ------- 1 ----------

на промежутке (-00;-3) и (1;+оо) возрастает
на промежутке (-3;1) убывает

х= -3 точка максимума
$\displaystyle y(-3)= \frac{(-3)^3}{3}+(-3)^2-3*(-3)+5=-9+9+9+5=14$
минимальное значение

x=1 точка минимума
$\displaystyle y(1)= \frac{1}{3}+1-3+5= 3 \frac{1}{3}$ минимальное значение

4)
$\displaystyle y=2x^3-9x^2-60x+1$

$\displaystyle y`=(2x^3-9x^2-60x+1)`=6x^2-18x-60$

$\displaystyle y`=0\\ 6x^2-18x-60=0\\6(x^2-3x-10)=0\\D=9+40=49=7^2\\x_1=-2; x_2=5$

+ - +
------- - 2 -------- 5 --------
на промежутке (-оо;-2) и (5;+оо) возрастает
на промежутке (-2;5) убывает

точка х=-2 точка максимума
$\displaystyle y(-2)=2*(-2)^3-9*(-2)^2-60*(-2)+1=69$
максимальное значение

точка х=5 точка минимума
$\displaystyle y(5)=2*5^3-9*5^2-60*5+1=250-225-300+1=-274$
минимальное значение

5)
$\displaystyle y=x^4+2x^2+1$

$\displaystyle y`=(x^4+2x^2+1)`=4x^3+4x$

$\displaystyle y`=0\\4x^3+4x=0\\4x(x^2+1)=0\\x=0$

- +
-------------- 0 ----------------
на промежутке (-оо;0) убывает
на промежутке (0;+оо) возрастает

x=0 точка минимума

$\displaystyle y(0)=1$
минимальное значение функции

4,5(47 оценок)

Это интересно:

Компьютеры-и-электроника

16.04.2022

Как играть онлайн в Words with Friends...

Компьютеры-и-электроника

11.09.2020

Как сделать GIF анимацию из видео в Photoshop CS5: шаг за шагом...

Стиль-и-уход-за-собой

27.10.2021

10 простых способов быть привлекательной...

Компьютеры-и-электроника