Question

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно √38

Answer 1

8 ед³

Объяснение:

1. $V = \frac{1}{3}$*S(основания)*H (высота пирамиды)

2. S(осн.) = a² = 4 ед²

3. Возьмём треугольник, который состоит из боковой грани, высоты пирамиды и половины диагонали основания. Он будет прямоугольным, так как высота перпендикулярная основанию. Основанием является квадрат, поэтому:

Половина диагонали = $\frac{a\sqrt{2} }{2}$ = √2 ед

4. Через теорему Пифагора в этом треугольнике находим высоту:

Высота = √(38-2) = √36 = 6 ед²

5. Подставляем все значения в формулу объёма:

V = $\frac{1}{3}$ * 4 * 6 = 8 ед²

Answer 2

V(пирамида) = 8 (куб. ед.)

Объяснение:

Дано (см. рисунок):

  S(ABCD) – правильная пирамида

  ABCD – основание

  AB = BC = CD = DA = 2

  AE = BE = CE = DE =√38  

Найти: V(пирамида)

Объём пирамиды определяется по формуле

V(пирамида) = 1/3 • S(ABCD) • h.

Так как пирамида является правильной, то в её основании лежит правильный четырёхугольник – квадрат ABCD со сторонами AB=BC=CD=DA=2, площадь которого равна S(ABCD) = AB²=2²=4.

Далее найдём неизвестную высоту пирамиды h=EF.  

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (здесь ∠B прямой, так как является углом квадрата ABCD). По теореме Пифагора  

AC²=AB²+BC²=2²+2²=4+4=8 или AC=√8.  

По свойству квадрата диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно,

AF=FC=AC/2=(√8)/2=√(8/4) = √2.

Высота пирамиды EF перпендикулярна к плоскости основания ABCD, а также ко всем прямым, лежащим в этой плоскости. В частности, EF⊥AF, поэтому треугольник AFE является прямоугольным. Снова применим теорему Пифагора, согласно которой AE²=AF²+EF².

Отсюда  

h²=EF²=AE²–AF²=(√38)²–(√2)²=38–2=36=62 или h=6.

Подставляя найденные значения S(ABCD) = 4 и h=6, получим искомый объём пирамиды

V(пирамида) = 1/3 • 4 • 6 = 8 (куб. ед.).

Answer 3

Дано:

SABCD - прав. пирамида

ABCD - основание (квадрат)

AB = 2

SD = √38

Найти:

V - ?

(см. рисунок)

BD = AB√2 = 2√2 (диагональ квадрата со стороной 2)

OD = BD / 2 = √2

Из ΔSOD (∠O = 90°) по теореме Пифагора получаем:

SD² = OD² + SO²

SO² = 38 - 2

SO² = 36

SO = √36 = 6

V = 1/3 · Sосн · SO = 1/3 · 2² · 6 = 8