Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный по двум олимпиадам больше 120 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше Сколько человек из 11 «А», набравших меньше по географии, получат похвальные грамоты? ответ напишите цифрой.
Такое уравнение называется возвратным. Оно может быть решено сведением к однородному уравнению. Итак, начинаем:
Для облегчения понимания можно уравнение поделить на , естественно, убедившись перед этим, что и сделав замену Получившееся квадратное уравнение имеет два действительных, но противных корня, которые даже лень выписывать. Обозначим эти корни через p и q, для поиска x получаем два уравнения корни которых очевидно действительны и различны. Мы сделали самое сложное - доказали, что все корни нашего уравнения действительны (и, кстати, различны - это я говорю на тот случай, если кто-то не привык кратные корни подсчитывать, учитывая их кратность). Теперь, не вычисляя эти гадкие корни, воспользуемся теоремой Виета для многочлена 4-й степени, которая утверждает, что корни этого многочлена удовлетворяют следующим условиям (я буду их выписывать в упрощенном виде, используя то, что у нас старший коэффициент равен 1):
для многочлена
Нам потребуются первые два равенства; остальные я написал для коллекции. Имеем:
(x-a)(x²-10x+9)=0 (x-a)(x-1)(x-9)=0 x₁=a; x₂=1; x₃=9 - корни уравнения Составим из полученных корней все возможные последовательности: 1) 1, 9, а 2) 1, а, 9 3) а, 1, 9 4) а, 9, 1 5) 9, а, 1 6) 9, 1, а Получено 6 последовательностей. Убираем убывающие (4), (5), (6). Получили три возрастающих последовательности. Известно, что это арифметические прогрессии. Находим значение а в каждой из них: 1) 1, 9, а d=9-1=8 => a=9+8=17 2) 1, a, 9 a=(1+9)/2=10/2=5 3) a, 1, 9 d=9-1=8 a=1-8=-7 Итак, а равны 17, 5 и -7
x²-10x+9=0 Корни уравнения находим по теореме Виета: x₁*x₂=9 и x₁+x₂=10 => x₁=1, x₂=9 (x₁<x₂)
, естественно, убедившись перед этим, что 
и сделав замену 
Получившееся квадратное уравнение имеет два действительных, но противных корня, которые даже лень выписывать. Обозначим эти корни через p и q, 
для поиска x получаем два уравнения 
ответ: 4
Объяснение:
Ищем учеников у которых в сумме больше 120 и по географии < 65.
Номера учеников:
5011
5025
5027
5042
Итого 4