Question

Решить, не находя производн" />

Answer 1

Задача: Сумма катетов прямоугольного треуольника равна 24 см. Найти длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей.

Пусть один катет будет x cm, тогда второй — 24−x cm. составим уравнение для вычисления площади прямоугольного т-ка, где x — независимая переменная, S — зависимая переменная:

$S = \frac{x(24-x)}{2}$

$2S = 24x-x^2$

$S = 12x-0,5x^2$

Графиком данной функции является парабола.

Определим вершину параболы, построим график функции S(x):

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2\cdot (-0,5)} = \frac{12}{1} = 12$

$y_0 = S(12) = 12\cdot 12 -0,5\cdot 12^2 = 12(12-0,5\cdot12) = 12\cdot 6 = 72$

Ордината вершины параболы — и есть максимальная площадь треугольника. Абсцисса вершины — значение, которое принимает независимая переменная, то есть один из катетов прямоугольного треугольника, который мы обозначили за x.

Из графика видно, что длины катетов треугольника будут равны, и равны абсциссе вершины параболы.

Или выведем аналитически:

если один катет x = 12 cm, тогда второй 24−x = 24−12 = 12 cm

ответ: Катеты треугольника должны быть равны 12 и 12 см.

           Максимальная площадь равна 72 см².