Добрый день! Рассмотрим задачу на нахождение экстремумов функции z=x^2+xy+y^2-2x-y.
Для начала, мы можем использовать метод частных производных для поиска экстремумов. Для этого найдем частные производные функции z по переменным x и y и приравняем их к нулю.
Частная производная функции z по x (обозначим ее как ∂z/∂x) равна:
∂z/∂x = 2x + y - 2.
Частная производная функции z по y (обозначим ее как ∂z/∂y) равна:
∂z/∂y = x + 2y - 1.
Теперь приравняем их к нулю и решим уравнения:
2x + y - 2 = 0, (1)
x + 2y - 1 = 0. (2)
Из уравнения (1) можно выразить y:
y = 2 - 2x. (3)
Подставим это значение y в уравнение (2):
x + 2(2 - 2x) - 1 = 0,
x + 4 - 4x - 1 = 0,
-3x + 3 = 0,
-3x = -3,
x = 1.
Теперь, найдем значение y, подставив найденное значение x в уравнение (3):
y = 2 - 2*1,
y = 0.
Таким образом, точка (x, y) = (1, 0) является стационарной точкой.
Для ответа на вопрос о типе экстремума, введем вторые частные производные.
Частная производная из уравнения (1) по x равна:
∂^2z/∂x^2 = 2.
Частная производная из уравнения (2) по y равна:
∂^2z/∂y^2 = 2.
Частная производная из уравнения (1) по y равна:
∂^2z/∂y∂x = 1.
Частная производная из уравнения (2) по x равна:
∂^2z/∂x∂y = 1.
Получили, что D > 0, что говорит нам о том, что в точке (1, 0) функция имеет локальный экстремум.
Теперь, чтобы определить, является ли этот экстремум максимумом или минимумом, воспользуемся следующим правилом:
- Если (∂^2z/∂x^2) > 0 и D > 0, то это экстремум является локальным минимумом.
- Если (∂^2z/∂x^2) < 0 и D > 0, то это экстремум является локальным максимумом.
В нашем случае, (∂^2z/∂x^2) = 2 > 0 и D = 3 > 0, следовательно, экстремум является локальным минимумом.
Таким образом, функция z=x^2+xy+y^2-2x-y имеет локальный минимум в точке (1, 0) со значением z = 1.
Надеюсь, объяснение было понятным и подробным. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их!
Для начала, мы можем использовать метод частных производных для поиска экстремумов. Для этого найдем частные производные функции z по переменным x и y и приравняем их к нулю.
Частная производная функции z по x (обозначим ее как ∂z/∂x) равна:
∂z/∂x = 2x + y - 2.
Частная производная функции z по y (обозначим ее как ∂z/∂y) равна:
∂z/∂y = x + 2y - 1.
Теперь приравняем их к нулю и решим уравнения:
2x + y - 2 = 0, (1)
x + 2y - 1 = 0. (2)
Из уравнения (1) можно выразить y:
y = 2 - 2x. (3)
Подставим это значение y в уравнение (2):
x + 2(2 - 2x) - 1 = 0,
x + 4 - 4x - 1 = 0,
-3x + 3 = 0,
-3x = -3,
x = 1.
Теперь, найдем значение y, подставив найденное значение x в уравнение (3):
y = 2 - 2*1,
y = 0.
Таким образом, точка (x, y) = (1, 0) является стационарной точкой.
Для ответа на вопрос о типе экстремума, введем вторые частные производные.
Частная производная из уравнения (1) по x равна:
∂^2z/∂x^2 = 2.
Частная производная из уравнения (2) по y равна:
∂^2z/∂y^2 = 2.
Частная производная из уравнения (1) по y равна:
∂^2z/∂y∂x = 1.
Частная производная из уравнения (2) по x равна:
∂^2z/∂x∂y = 1.
Теперь, посчитаем определитель Гессиана:
D = (∂^2z/∂x^2)(∂^2z/∂y^2) - (∂^2z/∂y∂x)(∂^2z/∂x∂y) = (2)(2) - (1)(1) = 3.
Получили, что D > 0, что говорит нам о том, что в точке (1, 0) функция имеет локальный экстремум.
Теперь, чтобы определить, является ли этот экстремум максимумом или минимумом, воспользуемся следующим правилом:
- Если (∂^2z/∂x^2) > 0 и D > 0, то это экстремум является локальным минимумом.
- Если (∂^2z/∂x^2) < 0 и D > 0, то это экстремум является локальным максимумом.
В нашем случае, (∂^2z/∂x^2) = 2 > 0 и D = 3 > 0, следовательно, экстремум является локальным минимумом.
Таким образом, функция z=x^2+xy+y^2-2x-y имеет локальный минимум в точке (1, 0) со значением z = 1.
Надеюсь, объяснение было понятным и подробным. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их!