Question

В разложении по степеням переменной х укажите: (х + 1/х)^10

а) одночлен, содержащий х8;

б) одночлен, содержащий х4;

в) одночлен, содержащий х-2;

г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий х заранее )

Answer 1

Для решения данной задачи нам потребуется знание бинома Ньютона. Бином Ньютона позволяет разложить выражение вида (а + b)^n на сумму одночленов, где "a" и "b" - числа, а "n" - натуральное число.

В данном случае у нас имеется выражение (х + 1/х)^10. Первым шагом мы можем заметить, что это выражение может быть упрощено с помощью общего знаменателя. Таким образом, (х + 1/х)^10 = (х^2 + 1)^10 / х^10.

Теперь, мы можем воспользоваться биномом Ньютона для разложения (х^2 + 1)^10. Формула для разложения бинома Ньютона имеет вид:

(а + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-2) * a^2 * b^(n-2) + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n,

где C(n, k) - биномиальный коэффициент (равен n! / (k! * (n-k)!)).

Применяя эту формулу, разложим (х^2 + 1)^10 на сумму одночленов:

(х + 1/х)^10 = C(10, 0) * (х^10) * (1/х)^0 + C(10, 1) * (х^9) * (1/х)^1 + C(10, 2) * (х^8) * (1/х)^2 + ... + C(10, 8) * (х^2) * (1/х)^8 + C(10, 9) * (х^1) * (1/х)^9 + C(10, 10) * (х^0) * (1/х)^10.

Упрощая выражение, получим:

(х + 1/х)^10 = C(10, 0) * (х^10) * 1 + C(10, 1) * (х^9) * 1/х + C(10, 2) * (х^8) * (1/х)^2 + ... + C(10, 8) * (х^2) * (1/х)^8 + C(10, 9) * (х^1) * (1/х)^9 + C(10, 10) * (х^0) * (1/х)^10.

Сокращая х с 1/х для каждого члена, получаем:

(х + 1/х)^10 = C(10, 0) * х^10 + C(10, 1) * х^8 + C(10, 2) * х^6 + C(10, 3) * х^4 + C(10, 4) * х^2 + C(10, 5) * х^0 + C(10, 6) * х^-2 + C(10, 7) * х^-4 + C(10, 8) * х^-6 + C(10, 9) * х^-8 + C(10, 10) * х^-10.

Теперь мы можем ответить на вопросы:

а) одночлен, содержащий х^8: C(10, 1) * х^8 = 10 * х^8 = 10х^8.

б) одночлен, содержащий х^4: C(10, 3) * х^4 = 120 * х^4 = 120х^4.

в) одночлен, содержащий х^-2: C(10, 6) * х^-2 = 210 * х^-2 = 210/х^2.

г) свободный коэффициент: C(10, 5) * х^0 = 252.

Таким образом, разложение по степеням переменной х для выражения (х + 1/х)^10:
а) одночлен, содержащий х^8: 10х^8;
б) одночлен, содержащий х^4: 120х^4;
в) одночлен, содержащий х^-2: 210/х^2;
г) свободный коэффициент: 252.