Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х^2 +6х+12; х=-1; х=-3; у = 0​

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2+6x+12;y=0;x_1=-3;x_2=-1;S=?.\\\int\limits^{-1}_{-3} {(x^2+6x+12-0)} \, dx =(\frac{x^3}{3}+3x^2+12x)|_{-3}^{-1}=\\=\frac{(-1)^3}{3} +3*(-1)^2+12*(-1)- (\frac{(-3)^3}{3} +3*(-3)^2+12*(-3))=\\=-\frac{1}{3}+3-12-(-9+27-36)=-\frac{1}{3} -9-( -18)=-9\frac{1}{3}+18=8\frac{2}{3}.$

ответ: S≈8,667 кв. ед.

Answer 2

Объяснение:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=х² +6х+12; х=-1; х=-3; у = 0​

Построим указанные кривые на координатной плоскости

у=х² +6х+12 - уравнение параболы. Однозначно строится по трем точкам. Вершина параболы находится в точке с координатами(-3;3).

Еще две точки найдем подставив координаты х = -1 и х = -3 в уравнение параболы

у(-3) = 9 - 18 + 12 = 3

у(-1) = 1 - 6 + 12 = 7

Координаты двух других точек (-3;3) и (-1;7)

Уравнения х=-1; х=-3 на координатной плоскости описывают прямые.

Данные прямые параллельны оси абсцисс  и проходят через точки (-1;0) и (-3;0) соответственно.

Прямая y=0 является осью ординат.

Фигура внутри полученного пересечения снизу ограничена прямой y=0 справа ограничена прямой х = -1, слева прямой х=-3, а сверху ограничена параболой у=х² +6х+12

Для нахождения площади фигуры найдем интеграл с пределами интегрирования от -3 до -1 и  функцией х² +6х+12

$S = \int\limits^{-1}_{-3} {(x^2+6x+12)} \, dx=\frac{x^3}{3}+3x^2+12x\left[\begin{array}{ccc}-1&\\-3\end{array}\right] = \frac{-1}{3}+3-12-(-\frac{27}{3}+27-36)= -\frac{1}{3}-9 +18 = 9-\frac{1}{3} = 8,67$