Докажите равенство tg2α = (2tgα) / (1-tg²α), если α ≠ π/2 + πn, α ≠ π/4 + πn/2, n ∈ z

Question

Алгебра: Докажите равенство tg2α = (2tgα) / (1-tg²α), если α ≠ π/2 + πn, α ≠ π/4 + πn/2, n ∈ z

zarinaa2004 · Accepted Answer

2cos²x+2sin2x=3
(Синус двойного угла: sin2x=2sinxcosx)
2cos²x+2(2sinxcosx)-3=0
2cos²x+4sinxcosx-3=0
(Поскольку sin²x+cos²x=1 (осн.тригоном.тожд.), то мы можем представить 3 как 3(sin²x+cos²x)=3sin²x+3cos²x)
2cos²x+4sinxcosx-(3sin²x+3cos²x)=0
2cos²x+4sinxcosx-3sin²x-3cos²x=0
-cos²x+4sinxcosx-3sin²x=0
cos²x+3sin²x-4sinxcosx=0 |:cos²x≠0
(cos²x/cos²x)+(3sin²x/cos²x)-(4sinxcosx/cos²x)=0
1+3tg²x-4tgx=0
3tg²x-4tgx+1=0
Замена: Пусть tgx=t
3t²-4t+1=0
Поскольку в данном уравнении a+b+c=0 (3+(-4)+1=0), то:
t₁=1
t₂=c/a=1/3
Обратная замена:
1) tgx=1
x=π/4+πn, n∈Z
2) tgx=1/3
x=arctg1/3+πn, n∈Z

MOGZ ответил