Question

Объясните, как решать.

cos^2(2x) − 5 sin^2(x) + 1 = 0

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$cos^22x-5sin^2x+1=0$

Очевидно, что нужно понизить степень у синуса и уйти на квадратное уравнение только с косинусом, чтобы потом применить замену:

$cos^22x-5\times\dfrac{1-cos2x}{2}+1=0$

Теперь для удобства все домножим на 2:

$2cos^22x+5cos2x-3=0$

Делаем замену: cos2x=t, -1<=t<=1

$2t^2+5t-3=0$

Это 7-ой класс:

$2t^2+6t-t-3=0\\2t(t+3)-(t+3)=0\\(t+3)(2t-1)=0\\t=-3\\t=1/2$

-3 посторонний корень

=> в результате обратной замены получим:

$cos2x=1/2\\\\2x=\dfrac{\pi}{3}+2n\pi,\;n\in Z\\2x=-\dfrac{\pi}{3}+2n\pi,\;n\in Z\\\\\\x=\dfrac{\pi}{6}+n\pi,\;n\in Z\\x=-\dfrac{\pi}{6}+n\pi,\;n\in Z$

Уравнение решено!

Сейчас, кстати увидел 2-ой решения:

$cos^22x-5sin^2x+1=0\\(2cos^2x-1)^2-5(1-cos^2x)+1=0\\4cos^4x-4cos^2x+1-5+5cos^2x+1=0\\4cos^4x+cos^2x-3=0\\4cos^4x+4cos^2x-3cos^2x-3=0\\4cos^2x(cos^2x+1)-3(cos^2x+1)=0\\(cos^2x+1)(4cos^2x-3)=0\\=\\1)\\cos^2x=-1\\x\in\varnothing\\\\2)\\4cos^2x-3=0\\4cos^2x=3\\cos^2x=\dfrac{3}{4}\\1+cos2x=3/2\\cos2x=1/2$

Пришли к тому же ответу.