Question

Дана функция y = 4x^3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 7.

Answer 1

Так как существует конечный предел

$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 } \frac{{f(x) - f(x_0 )}}{{x - x_0 }} = k\]$

То график функции $f(x)=4x^3$ имеет касательную в точке $(x_0,f(x_0))$.

Запишем уравнение касательной в общем виде

$\[Y = k(X - x_o ) + f(x_0 )\]$

Где $k$ - угловой коэффициент касательной. Очевидно, что равен производной функции $f(x)\\$ (геометрический смысл производной).

Найдем производную это функции с определения

$\[f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{4\left[ {x + \Delta x} \right]^3 - 4x^3 }}{{\Delta x}} = 12x^2 \]$

Производная в точке x0, равна

$\[f'(x_0 ) = 12 \cdot 7^2 = 588\]$

Вычислим значение функции в точке x0=7

$\[f(x_0 ) = 4 \cdot 7^3 = 1372\]$

Тогда уравнение касательной имеет вид

$\[Y = 588\left[ {X - 7} \right] + 1372 = 588X - 2744\]$