Область определения - это промежутки значений, которые может принимать переменная.
Область значений - это промежутки значений, которые может принимать функция.
а) y = √(35 + 2x - x^2)
Область определения
-x^2 + 2x + 35 >= 0
(7 - x)(5 + x) >= 0
Область определения: D(x) = [-5; 7]
При x = -5 и x = 7 будет y = 0. Максимум параболы будет в вершине,
при x0 = -b/(2a) = -2/(-2) = 1 будет y(x0) = √(35+2-1) = √36 = 6
Область значений: E(y) = [0; 6]
б) y = (2x^2 - 4x - 1)^(1/6)
Область определения
2x^2 - 4x - 1 >= 0
D = 4^2 - 4*2(-1) = 16 + 8 = 24 = (2√6)^2
x1 = (4 - 2√6)/4 = (2 - √6)/2; x2 = (2 + √6)/2
Область определения: D(x) = (-oo; (2 - √6)/2] U [(2 + √6)/2; +oo)
В точках x1 и x2 значение функции y(x1) = y(x2) = 0, верхнего предела у аргумента и у значения нет.
Область значений: E(y) = [0; +oo)
в) y = (12 - 2x - x^2)^(1/4)
Область определения
-x^2 - 2x + 12 >= 0
D = 2^2 - 4(-1)*12 = 4 + 48 = 52 = (2√13)^2
x1 = (2 - 2√13)/(-2) = -1 + √13; x2 = -1 - √13
Область определения: D(x) = [-1 - √13; -1 + √13]
При x1 и x2 будет y(x1) = y(x2) = 0. Максимум параболы будет в вершине,
при x0 = -b/(2a) = 2/(-2) = -1 будет y(x0) = (-1 + 2 + 12)^(1/4) = 13^(1/4)
Область значений: E(y) = [0; 13^(1/4)]
г) y = (x^2 + 2x + 3)^(1/8)
Область определения
x^2 + 2x + 3 >= 0
D = 2^2 - 4*1*3 = 4 - 12 = -8 < 0
Этот трехчлен принимает положительные значения при любом x.
Поэтому область определения: D(x) = (-oo; +oo)
Минимум параболы будет в вершине, при x0 = -b/(2a) = -2/2 = -1 будет
y(x0) = (1 - 2 + 3)^(1/8) = 2^(1/8). Верхнего предела у аргумента и у значения нет.
Область значений: E(y) = [2^(1/8); +oo)
Всё детально расписано на фото (кстати, мне кажется, Вы условия для некоторых примеров написали неправильно, поэтому и ответы получаются "кривые". В следующий раз постарайтесь оформить задание лучше, чтобы можно было понять его суть полностью):