Question

решить При каких а неравенство ax^2+(2a+4)x+2a+1<=0 выполняется только для одного значения х ?

Answer 1

ответ:  а=4 .

$ax^2+(2a+4)x+(2a+1)\leq 0$

Для того , чтобы значение функции  $f(x)=ax^2+(2a+4)x+(2a+1)$  было меньше или равно 0 только для одного значения "х", необходимо, чтобы парабола  y=f(x) имела только одну общую точку с осью ОХ  (у=0)  и чтобы ветви параболы были направлены вверх  (a>0). Тогда будет выполняться система

$\left\{\begin{array}{l}a0\\D=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a0\\(2a+4)^2-4a(2a+1)=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a0\\-4a^2+12a+16=0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}a0\\-4(a^2-3a+4)=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}a0\\a_1=-1\ ,\ a_2=4\ (teorema\ Vieta)\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ a=4$

ответ:  а=4 .  

Действительно, при а=4 получаем неравенство  $4x^2+12x+9\leq 0\ ,$

$D=12^2-4\cdot 4\cdot 9=0\ \ \to \ \ 4x^2+12x+9=(2x+3)^2\ \ ,\\\\(2x+3)^2\leq 0$

Но квадрат любого выражения больше или равен 0, поэтому из неравенства  $(2x+3)^2\leq 0$  можно выбрать только знак  "=" , а   $(2x+3)^2=0$   только при  одном значении  $x=-1,5\ .$