По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, BP=BR; CM=CR; AP= AM; CM=CR.
Периметр треугольника равен 8+12+6=26/см/, Если BP=BR=х, то CM=CR=6-x; AP= AM=8-x; если от периметра отнять сумму сторон АВ и ВС, то получим АС. АС=26-(6+8)=12/см/, тогда 8-х+6-х=12, х=(14-12)/2=1, откуда BP=BR=1/см/; CM=CR=6-x=6-1=5/см/; AM=8-x=8-1=7/см/
Пусть РВ=х
1. Рассмотрим Δ ОРВ и ΔОВК, у них
1) ОР=ОК=r , как радиусы одной окружности
2) Радиус, проведенный в точку касания всегда перпендикулярен касательной, поэтому
∠OPA=∠OКB=90°
3) ОВ - общая
Значит, Δ ОРВ = ΔОВК.
Отсюда РВ=ВК=х
2. Аналогично Δ КОС = ΔОМС, у них
1) ОМ=ОК=r , как радиусы одной окружности
2) Радиус, проведенный в точку касания всегда перпендикулярен касательной, поэтому
∠OКС=∠OМС=90°
3) ОС - общая
Значит, КС=МС=(6-х)
3. Так же Δ ОРА и ΔОМА, у них
1) ОР=ОМ=r , как радиусы одной окружности
2) Радиус, проведенный в точку касания всегда перпендикулярен касательной, поэтому
∠OPA=∠OМА=90°
3) ОА - общая
Значит, АР=АМ=(8-х)
4. Очевидно, что АС=АМ+МС
Подставим АС=12см
АМ=8-х
МС=6-м
Получаем уравнение:
12=(8-х)+(6-х)
2х=14-12
2х=2
х=2:2
х=1
РВ=ВК= 1 см, тогда
КС=МС=6-1=5см
АР=АМ=8-1=7см