3x²-2kx-k+6=0, уравнение не имеет когда D<0
D = (2k)²-4 * (-k+6) * 3 = 4k²-12 * (-k+6) = 4k²+12k-72
4k²+12k-72 < 0
Приравняем левую часть к нулю, чтобы квадратное уравнение разложить на множители:
4k²+12k-72 = 0 | :4
k²+3k-18=0
По теореме Виета найдем корни:
k1 + k2 = -3
k1 * k2 = -18
k1 = -6
k2 = 3
Теперь можем разложить на множители по формуле А(Х-х1)(Х-х2)
4(t+6)(t-3) = 0
Теперь решим методом интервалов:
+ - +
00
-6 3
t € (-6; 3)
ответ: при t € (-6 ; 3) уравнение не имеет корней
Нули функции (-5; 0) (-1; 0) (4; 0) (10; 0)
У>0 при х∈(-5, -1) и при х∈(4, 10)
Объяснение:
а)Нули функции это точки пересечения графиком оси Ох, где у ВСЕГДА равен нулю.
Таких точек здесь 4, координаты: (-5; 0) (-1; 0) (4; 0) (10; 0)
б)Если заменить слово "аргумент" на х, а "функция" на у, то понятно, что нужно определить, при каких значениях х у>0.
На графике ясно видны эти отрезки, где функция выше оси Ох.
Таких отрезков 2: от -5 до -1 и от 4 до 10.
У>0 при х∈(-5, -1) и при х∈(4, 10)
Объяснение:
Так как старший коэффициент уравнения 2, то уравнение 3x²–2kx–k+6=0 квадратное.
Квадратное уравнение не имеет корней, только в случае если дискриминант отрицателен.
Найдем дискриминант:
Д=(–2k)²–4*3*(–k+6)= 4k²+12k–72
Найдем в каких случаях он отрицателен.
4k²+12k–72<0
k²+3k–18<0
Графиком функции у=k²+3k–18 является парабола. Следовательно k²+3k–18<0 при k, значения когда график данной функции ниже прямой у=0
Найдем пересечение с прямой у=0.
k²+3k–18=0
Д=3²–4*1*(–18)= 9+72=81.
k(1)= (–3+√81)÷(2*1)= 6÷2=3
k(2)= (–3–√81)÷(2*1)= –12÷2= –6
Значит точки пересечения графиков у=k²+3k–18 и у=0, будут точки с координатами (–6;0) и (3;0)
Так как коэффициент при k² положительный, то ветви параболы будут направлены вверх. Тогда k²+3k–18<0 при k€(–6;3).
Следовательно уравнение 3x²–2kx–k+6=0 не имеет корней при k€(–6;3)
ответ: (–6;3)