Question

Решите с объяснением, один из примеров

Answer 1

Максимальность разности корней уравнения $x^2+px+q$ эквивалента максимальности квадрата разности этих корней. Пусть у вышеприведенного уравнения корни $x_{1},x_{2}$. Требуется определить максимальное значение $(x_{1}-x_{2})^2$: $(x_{1}-x_{2})^2=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}=p^2-4q$.

Для первой задачи $p=3a,q=a^4$. Нужно максимизировать $9a^2-4a^4$. Это парабола в системе координат $x0y$, если сделать замену $y=a^2$. Таким образом, максимум достигается при $a=\pm\sqrt{\frac{9}{2\times 4} }=\pm\frac{3}{2\sqrt{2}}$