Question

Решить уравнение 2) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$\frac{5\pi }{2}$ и $4\pi$] $\frac{2sin^{2} x + 2sinx cos2x - 1 }{\sqrt{cosx} }$

Answer 1

Ниже↓

Объяснение:

Числитель 2sin²x+2sinx*cos2x-1=

=2sin²x+2sinx*(cos²x-sin²x)-(sin²x+cos²x)=

=sin²x- cos²x +2sinx*(cos²x-sin²x)=

=(sin²x- cos²x) -2sinx*(sin²x-cos²x)=

=(sin²x- cos²x)(1 -2sinx)= -( cos²x- sin²x)(1 -2sinx)=-cos2x(1 -2sinx). {-cos2x(1 -2sinx)=0

{cosx>0

Решим первое -cos2x(1 -2sinx)=0

1) cos2x=0, 2х=$\frac{\pi }{2} +\pi n$  , х=$\frac{\pi }{4} + \frac{\pi *m}{2}$  , m∈Z

2) 1 -2sinx=0 ,  sinx=1\2 , х=$\frac{\pi }{6} +2\pi n$     x=$\frac{5\pi }{6} +2\pi k$  , n,к∈Z

Решим второе  

cosx>0 , х∈ (-$\frac{\pi }{2} +2\pi n$; $\frac{\pi }{2} +2\pi n$ ).  Выберем из  найденных корней п 1, удовлетворяющие полученному условию. .

Это $\frac{\pi }{4} +2\pi n$  ,  $-\frac{\pi }{4} +2\pi m$  , $\frac{\pi }{6} +2\pi k$ где n, m, k∈ Z

Выберем корни из  [$\frac{5\pi }{2}$  ;4π  ]

Для х= $\frac{\pi }{4} +2\pi n$  нет ,

Для х=$-\frac{\pi }{4} +2\pi m$  это $\frac{15\pi }{4}$ .

Для х=$\frac{\pi }{6} +2\pi k$   нет.

Answer 2

2sin²x+2sinxcos2x-1)/(√cosx)=(2sin²x+2sinxcos2x-1)/(√cosx)=

(2sinxcos2x-cos2x)/(√cosx)=cos2x(2sinx-1)/(√cosx)

ОДЗ : cosx>0;х∈(-π/2+2πm; π/2+2πm); m∈Z;

cos2x=0; х=π/4+πn/2; n∈Z;

sinx=1/2; х=(-1)ⁿπ/6+πк; n∈Z; его лучше расписать для четного и нечетного к. Если к четное , то к=2t;  х=π/6+2πt ; t∈Z;

Если к нечетное , то к=2t + 1;  х=5π/6+2πt ; t∈Z; этот ответ не подходит, т.к. не входит в ОДЗ.

Найдем корни уравнения из указанного отрезка.

а) х=π/4+πn/2; n∈Z;

2.5π≤π/4+πn/2≤4π; 2.5≤1/4+n/2≤4; 2.25≤n/2≤3.75; 4.5≤n/2≤7.5;

n=5;  х=π/4+5π/2=∉ОДЗ,

n=6;  х=π/4+6π/2=13π/4∉ОДЗ,

n=7;  х=π/4+7π/2=15π/4

б) х=π/6+2πt ;

5/2≤1/6+2t≤4

5/2-1/6≤2t≤4-1/6

7/3≤2t≤23/6

7/6≤t≤23/12 нет здесь корней из указанного отрезка.