Question

|x-6|-|x^2-5x-6|<6 Решите методом интервалов :)

Answer 1

$b)\ \ -1\leq x$

$x\geq 6\ \ \to \ \ \ x\in [\ 6\, +\infty )\\\\Otvet:\ \ x\in (-\infty \, ;\, 2-\sqrt{10}\ )\cup (3-\sqrt{15}\, ;\, +\infty \, )\ .$

Answer 2

Преобразуем второй модуль и определим нули подмодульных выражений:

$|x-6|-|(x-6)(x+1)|$

Нули подмодульных выражений: $x=-1$ и $x=6$, поэтому раскрывать модуль будем на следующих промежутках:

1) $x$

2) $-1\leq x\leq 6$

3) $x6$

1) Раскрываем модуль на промежутке $x$. Первый модуль раскрывается со сменой знака, второй - без смены знака:

$-(x-6)-(x^2-5x-6)$

$-x+6-x^2+5x+6$

$6-x^2+4x$

$x^2-4x-60$

Найдем корни соответствующего уравнения:

$x^2-4x-6=0$

$D_1=(-2)^2-1\cdot(-6)=10$

$x=2\pm\sqrt{10}$

Методом интервалов найдем решение неравенства:

$x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(2+\sqrt{10} ;\ +\infty)$

Учтем условие раскрытия модуля. Для этого сравним числа $2-\sqrt{10}$ и $-1$:

$2-\sqrt{10}\ \mathrm{(x)}\ -1$

$2+1\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{10}$

$3\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{10}$

$3^2\ \mathrm{(x)}\ (\sqrt{10} )^2$

$9$

Значит, первое число меньше. Тогда, учитывая условие раскрытия модуля, получим:

$\boxed{x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )}$

2) Раскрываем модуль на промежутке $-1\leq x\leq 6$. Оба модуля раскрываются со сменой знака:

$-(x-6)+(x^2-5x-6)$

$-x+6+x^2-5x-6$

$x^2-6x$

$x^2-6x-6$

$D_1=(-3)^2-1\cdot(-6)=15$

$x=3\pm\sqrt{15}$

Методом интервалов найдем решение неравенства:

$x\in(3-\sqrt{15} ;\ 3+\sqrt{15} )$

Учтем условие раскрытия модуля. Сравним числа $3-\sqrt{15}$ и $-1$:

$3-\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ -1$

$3+1\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{15}$

$4\ \mathrm{(x)}\ \sqrt{15}$

$4^2\ \mathrm{(x)}\ (\sqrt{15})^2$

$1615$

Первое число больше.

Сравним числа $3+\sqrt{15}$ и $6$:

$3+\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ 6$

$\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ 6-3$

$\sqrt{15}\ \mathrm{(x)}\ 3$

$(\sqrt{15})^2\ \mathrm{(x)}\ 3^2$

$159$

Первое число больше.

Теперь, учитывая условие раскрытия модуля, получим:

$\boxed{x\in(3-\sqrt{15} ;\ 6]}$

3) Раскрываем модуль на промежутке $x6$. Оба модуля раскрываются без смены знака:

$x-6-(x^2-5x-6)$

$x-6-x^2+5x+6$

$-x^2+6x$

$x^2-6x+60$

$D_1=(-3)^2-1\cdot6=3$

$x=3\pm\sqrt{3}$

Используя метод интервалов, запишем решение неравенства:

$x\in(-\infty;\ 3-\sqrt{3})\cup(3+\sqrt{3};\ +\infty )$

Число $3+\sqrt{3}$ меньше числа $6$.

Запишем решение, учитывая условие раскрытия модуля:

$\boxed{x\in(6;\ +\infty )}$

Итоговое решение неравенства представляет собой объединений трех промежутков:

$x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(3-\sqrt{15} ;\ 6]\cup(6;\ +\infty )$

Упростив запись, получим:

$x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(3-\sqrt{15} ;\ +\infty )$

ответ: $x\in(-\infty;\ 2-\sqrt{10} )\cup(3-\sqrt{15} ;\ +\infty )$