Question

Доказать, что функцию с модулями можно представить в виде...

Answer 1

Проведем доказательство индукцией по $k$.

База: $k=1$.

Имеем два промежутка: $(-\infty,\; x_{1}]$ и $[x_{1},\; \infty)$. Докажем, что существует представление $f$ в виде $g(x)=a_{1}|x-x_{1}|+a_{2}x+a_{3}$. Для этого достаточно доказать, что функция $g$ линейна на каждом из указанных промежутков и производная (угол наклона прямой) может принимать любые численные значения. Линейность функции очевидна. Рассмотрим $g$ на промежутках:

$(-\infty,\; x_{1}]$: $-a_{1}x+a_{1}x_{1}+a_{2}x+a_{3}=x(a_{2}-a_{1})+(a_{3}+a_{1}x_{1})$ (за счёт независимости $a_{3}$ (это число появляется только как свободный член) данное уравнение действительно описывает любую прямую.$[x_{1},\; \infty)$: $(a_{1}+a_{2})x+(a_{3}-a_{1}x_{1})$ аналогично. При этом заметим, что если зафиксировать старший член и свободный в первом случае, то множество значений старшего и свободного члена во втором случае есть все множество действительных чисел.

Единственность представления доказывается просто. Пусть нашлись другие (возможно совпадающие, но не полностью) числа $a_{1}',a_{2}',a_{3}'$. Рассмотрим первый промежуток: $x(a_{2}-a_{1})+(a_{3}+a_{1}x_{1})\equiv x(a_{2}'-a_{1}')+(a_{3}'+a_{1}'x_{1})$, откуда $\left \{ {{a_{2}-a_{1}=a_{2}'-a_{1}'} \atop {a_{3}+a_{1}x_{1}=a_{3}'+a_{1}'x_{1}} \right.$. К этой системе добавятся условия из второго промежутка: $\left \{ {{a_{1}+a_{2}=a_{1}'+a_{2}'} \atop {a_{3}-a_{1}x_{1}=a_{3}'-a_{1}'x_{1}}} \right.$. Решая систему из первого уравнения первой системы и первого уравнения второй, получим $a_{1}=a_{1}',\; a_{2}=a_{2}'$. Используя это равенство для второго уравнения первой системы, приходим к равенству $a_{3}=a_{3}'$. Единственность доказана.

Переход: пусть для некоторого $k$ выполнено условие задачи. Докажем, что оно выполнено и для $k+1$.

Рассмотрим функцию $f(x)=a_{1}|x-x_{1}|+a_{2}|x-x_{2}|+...+a_{k}|x-x_{k}|+a_{k+1}x+a_{k+2}$. По предположению индукции $f$ можно представить в этом виде, причем единственным образом. Рассмотрим следующую функцию $f^{*}(x)=a_{1}|x-x_{1}|+a_{2}|x-x_{2}|+...+a_{k+1}|x-x_{k+1}|+a_{k+2}x+a_{k+3}$. Очевидно, что первые $k$ чисел можно подобрать по предположению индукции, представив тем самым функцию $f$ на промежутках $(-\infty,\; x_{1}],\; [x_{1},\; x_{2}],\;...,\;[x_{k-1},\; x_{k}]$. Оставшуюся часть $[x_{k},\; x_{k+1}],\; [x_{k+1},\; \infty)$ представим, пользуясь базой индукции (при этом отсутствие минус бесконечности на ход решения не влияет). Докажем единственность. Пусть нашелся другой набор чисел $a_{1}',\;a_{2}',\;...,\;a_{k+1}'$. Введем функцию $\varphi$, которая описывается следующим графиком: она совпадает с $f$ на первых $k$ промежутках, а кусок прямой на $k+1$-ом продлевается в бесконечность (вправо). Тогда у $\varphi$ два представления, что противоречит предположению индукции. Следовательно, $a_{i}=a_{i}',\; 1\leq i\leq k$, причем $a_{k+1}$ может отличаться от $a_{k+1}'$. Тогда проведем те же рассуждения, взяв последние $k$ чисел.