Question

Решите уравнение. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения (в градусах) умноженный на 13. $cos^{2}2x + cos^{2}3x + cos^{2}10x + cos^{2} 11x = 2$

Answer 1

$cos^22x+cos^23x+cos^210x+cos^211x=2\\\\\\\star \ \ \ cos^2\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2}\ \ \star \\\\\\\dfrac{1+cos4x}{2}+\dfrac{1+cos6x}{2}+\dfrac{1+cos20x}{2}+\dfrac{1+cos22x}{2}=2\\\\\\\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\, cos4x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\, cos6x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\, cos20x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\, cos22x=2\\\\\\\dfrac{1}{2}\cdot \Big((cos4x+cos22x)+(cos6x+cos20x)\Big)=0\\\\\\\star \ \ cos\alpha +cos\beta =2\cdot cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}\ \ \star$

$2\cdot cos13x\cdot cos9x+2\cdot cos13x\cdot cos7x=0\\\\2\, cos13x\cdot (cos9x+cos7x)=0\\\\2\, cos13x\cdot 2\cdot cos8x\cdot cosx=0\\\\a)\ \ cos13x=0\ \ ,\ \ 13x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{26}+\dfrac{\pi n}{13}\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ cos8x=0\ ,\ \ 8x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\ ,\ k\in Z\ ,\\\\x=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi k}{8}\ ,\ k\in Z\\\\c)\ \ cosx=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m\ ,\ m\in Z$

$Otvet:\ \ x_1=\dfrac{\pi}{26}+\dfrac{\pi n}{13}\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{\pi}{16}+\dfrac{\pi k}{8}\ \ ,\ x_3=\dfrac{\pi}{2}+\pi m\ ,\ \ n,k,m\in Z\ .$

Наибольший отрицательный корень будет при n= -1 : $x=\dfrac{\pi}{26}-\dfrac{\pi}{13}=-\dfrac{\pi}{26}$  ,  $13x=-\dfrac{\pi}{26}\cdot 13=-\dfrac{\pi }{2}\ .$

Answer 2

Ниже↓

Объяснение:

cos²α=$\frac{1+cos2\alpha }{2}$/  Применим эту формулу для левой части и 1\2 сразу вынесем за скобки

1\2*(1+cos4х+1+cos6х+1+cos20х+1+cos22х)=2 |:2

1+cos4х+1+cos6х+1+cos20х+1+cos22=4

cos4х+cos6х+cos20х+cos22=0 Применим сумму косинусов:

2 cos$\frac{22x+4x}{2}$ cos$\frac{22x-4x}{2}$ +2cos$\frac{20x+6x}{2}$cos$\frac{20x-6x}{2}$=0

2cos13x*cos9x+2cos13x*cos7x=0

2cos13x*(cos9x+cos7x)=0 |:2

cos13x*(2cos$\frac{9x+7x}{2}$ *cos$\frac{9x-7x}{2}$ =0

2*cos13x*cos8x*cosx=0

cos13x=0 , 13х=$\frac{\pi }{2} +\pin$πn  ,х=$\frac{\pi }{26} +\frac{\pi*n }{13}$ , n∈Z.

cos8x=0 , 8х=$\frac{\pi }{2} +\pi m$  ,х=$\frac{\pi }{16} +\frac{\pi*m }{8}$  , m∈Z.

cosx=0 ,   x= $\frac{\pi }{2}$+πk , k∈Z

Наибольший отрицательный корень , по смыслу , ближе всех к нулю. Это  $x=\frac{\pi }{26} +\frac{\pi*n }{13}$ /При n=-1 : $\frac{\pi }{26} -\frac{\pi }{13} =\frac{\pi }{26} -\frac{2\pi }{26}=-\frac{\pi }{26}$. Если умножить на 13 , то будет $-\frac{\pi }{2}$