Question

Найдите сумму ряда
sin π/3+ sin² π/3 +sin³ π/3+...+sin^n π/3+...
​

Answer 1

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $\sin \frac{\pi}{3}$ и знаменателем $q=\sin \frac{\pi}{3}$. ВАЖНО: геометрическая прогрессия бесконечно убывающая тогда, когда $|q|$

$\sin\frac{\pi}{3}+\sin^2\frac{\pi}{3}+\sin^3\frac{\pi}{3}+...+\sin^n\frac{\pi}{3}+...=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{\sin\frac{\pi}{3}}{1-\sin\frac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\\ \\ =\dfrac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\dfrac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{4-3}=\sqrt{3}(2+\sqrt{3})$