Question

Составьте симметричное уравнение четвёртого порядка с корнями, равными 5, 3, одна третья

Answer 1

$15x^4-128x^3+290x^2-128x+15=0\\15\left ( x^4+1 \right )-128x\left ( x^2+1 \right )+290x^2=0\\15\left ( x^2+1 \right )^2-128x\left ( x^2+1 \right )+260x^2=0\\\frac{x^2+1}{x}=t\Rightarrow 15t^2-128t+260=0\Rightarrow t=\left \{ \frac{10}{3};\frac{26}{5} \right \}\\t=\frac{10}{3}\Rightarrow 3x^2-10x+3=0\Rightarrow x=\left \{ \frac{1}{3};3 \right \}\\t=\frac{26}{5}\Rightarrow 5x^2-26x+5=0\Rightarrow \left \{ \frac{1}{5};5 \right \}$

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Сначала давайте запишем уравнение в общем виде для симметричного уравнения четвёртого порядка:

(x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = 0,

где a, b, c, d - корни уравнения.

Исходя из условия задачи, у нас есть три корня: 5, 3 и одна третья.

Будем обозначать третью корень за x.

Теперь, используя данные корни, наша задача - найти оставшийся корень.

Известно, что каждый корень должен встречаться два раза (потому что у нас симметричное уравнение).

Используем это свойство:

(x - 5)(x - 3)(x - x)(x - d) = 0.

Мы должны найти значение d. Чтобы это сделать, раскроем скобки:

(x - 5)(x - 3)(x^2 - x(x) - x(d) + d*x - d*d) = 0.

(x - 5)(x - 3)(x^2 - x^2 - xd + dx - d^2) = 0.

Мы видим, что в первом и втором слагаемых х в кубе сократятся (x - x = 0), а также в третьем и четвертом слагаемом xo cократится.

Остаются следующие слагаемые:

(x - 5)(x - 3)(- xd + dx - d^2) = 0.

(x - 5)(x - 3)(dx - xd - d^2) = 0.

Отметим, что слагаемые с -xd и dx можно поменять местами, так как умножение чисел не зависит от порядка.

Теперь сгруппируем слагаемые:

(x - 5)(x - 3)(x(d - d) - d^2) = 0.

(x - 5)(x - 3)(0 - d^2) = 0.

То есть, получаем:

(x - 5)(x - 3)(-d^2) = 0.

Из этого уравнения видно, что -d^2 = 0.

Очевидно, что значение d должно быть равно нулю, чтобы это слагаемое в скобках обратилось в ноль.

Итак, наше уравнение выглядит так:

(x - 5)(x - 3)(x - 0) = 0.

Мы можем продолжить сокращать скобки:

(x - 5)(x - 3)x = 0.

Таким образом, мы получили симметричное уравнение четвёртого порядка с корнями, равными 5, 3 и одна третья:

(x - 5)(x - 3)(x) = 0.

Надеюсь, моё объяснение понятно и помогло разобраться в задаче! Если у Вас возникнут ещё вопросы, буду рад помочь!