Отметим на числовой прямой точки, дающие при делении на 12 остаток 5, красным карандашом, а точки, дающие при делении на 18 остаток 13-синим. Каково будет наименьшее расстояние между красной и синей точкой?
Очевидно : n₁ =12q₁ + 5 ( отмечены красным карандашом); n₂ =18q₂ + 13 (отмечены синим карандашом ) . Расстояние между этими точками будет: d=| n₁ - n₂ | = |12q₁ + 5 -( 18q₂ + 13) | = | 6(2q₁ -3q₂) - 8 | . Значение выражения (2q₁ -3q₂) должна быть не отрицательной (d ≥0) если : 2q₁ -3q₂ =0 ⇒ d =8 ; --- 2q₁ -3q₂ =1 ⇒ d =2 ; --- 2q₁ -3q₂ =2 ⇒ d =4 ; 2q₁ -3q₂ =3 ⇒ d =10 ; и т.д. расстояние увеличивается. Получается d =dmin=2 , если уравнение 2q₁ -3q₂ =1 будет иметь целочисленное решение и оно имеет. Действительно: 2q₁ -3q₂ =1 ⇔2q₁ =3q₂+1 ⇔q₁ =q₂ +(q₂+1)/2 , замена (q₂+1)/2 =t ∈ Z ⇒ q₂ =2t -1 и q₁ =q₂ +(q₂+1)/2= 2t -1 +t =3t -1. {q₁ =3t - 1 ; q₂ =2t -1 . Соответственно : { n₁ =12q₁ + 5 =36t -7 ; n₂ =18q₂ + 13 =36t -5 ; t ∈Z. Бесконечно множество точек : например: t=-1⇒n₁ = - 43 ; n₂ = - 41 ; t=0 ⇒n₁ = -7 ; n₂ = - 5 ; t=1 ⇒n₁ = 29 ; n₂ = 31
ответ : d min =2 .
* * * между точками n₁ =36t -7 и n₂ =36t -5 ; t ∈Z * * *
Всего было n школьников. За 1 час они обработали 30n работ. Через 1 час x школьников ушли домой. Осталось (n-x) школьников. За второй час они обработали 30(n-x) работ, а за 0,5 ч - 15(n-x). За первые 1,5 часа они обработали 30n + 15(n-x) = 45n - 15x работ. Пока просто запомним это, хотя посчитать мы еще не можем. Через 2 часа ушло еще x школьников. Осталось (n-2x) школьников. За третий час они обработали 30*(n-2x) работ. И снова ушло x школьников. Осталось (n-3x) школьников. И они закончили за 10 мин = 1/6 ч, а обработали 30/6*(n-3x) = 5n - 15x. Всего за 3 ч 10 мин они обработали 1775 работ. 30n + 30(n-x) + 30(n-2x) + 5n - 15x = 1775 95n - 105x = 1775 Делим на 5 19n - 21x = 355 n = (355 + 21x)/19 = 18 + x + (13 + 2x)/19 Чтобы n было целым, нужно, чтобы 13 + 2x делилось на 19. x = 3; n = 18 + 3 + 1 = 22 - подходит для количества учеников. x = 22; n = 18 + 22 + 3 = 53 - слишком много. Таким образом, всего было 22 ученика, каждый час уходило 3. За первые 1,5 часа они сделали 45n - 15x = 45*22 - 15*3 = 945 работ.
Очевидно :
n₁ =12q₁ + 5 ( отмечены красным карандашом);
n₂ =18q₂ + 13 (отмечены синим карандашом ) .
Расстояние между этими точками будет:
d=| n₁ - n₂ | = |12q₁ + 5 -( 18q₂ + 13) | = | 6(2q₁ -3q₂) - 8 | .
Значение выражения (2q₁ -3q₂) должна быть не отрицательной (d ≥0)
если :
2q₁ -3q₂ =0 ⇒ d =8 ;
---
2q₁ -3q₂ =1 ⇒ d =2 ;
---
2q₁ -3q₂ =2 ⇒ d =4 ;
2q₁ -3q₂ =3 ⇒ d =10 ;
и т.д. расстояние увеличивается.
Получается d =dmin=2 , если уравнение 2q₁ -3q₂ =1 будет иметь целочисленное решение и оно имеет.
Действительно:
2q₁ -3q₂ =1 ⇔2q₁ =3q₂+1 ⇔q₁ =q₂ +(q₂+1)/2 ,
замена (q₂+1)/2 =t ∈ Z ⇒ q₂ =2t -1 и q₁ =q₂ +(q₂+1)/2= 2t -1 +t =3t -1.
{q₁ =3t - 1 ; q₂ =2t -1 .
Соответственно :
{ n₁ =12q₁ + 5 =36t -7 ; n₂ =18q₂ + 13 =36t -5 ; t ∈Z.
Бесконечно множество точек :
например:
t=-1⇒n₁ = - 43 ; n₂ = - 41 ;
t=0 ⇒n₁ = -7 ; n₂ = - 5 ;
t=1 ⇒n₁ = 29 ; n₂ = 31
ответ : d min =2 .
* * * между точками n₁ =36t -7 и n₂ =36t -5 ; t ∈Z * * *