Question

При каких значениях а и b многочлен 2x^4 +ax^3 +x^2+ x - 1 делится без остатка на x^2-1 60+

Answer 1

Проверим, при каких значениях a и b многочлен 2x^4 +ax^3 +x^2+ x - 1 делится без остатка на x^2 - 1.

Для того чтобы многочлен 2x^4 + ax^3 + x^2 + x - 1 делился без остатка на x^2 - 1, необходимо и достаточно, чтобы его остаток при делении на x^2 - 1 был равен нулю.

Разделим многочлен 2x^4 + ax^3 + x^2 + x - 1 на x^2 - 1 с помощью длинного деления.

_____________________________
x^2 - 1 | 2x^4 + ax^3 + x^2 + x - 1

- (2x^4 - 2x^2)
_____________________________
ax^3 + 3x^2 + x - 1

Видим, что остаток от деления равен ax^3 + 3x^2 + x - 1.

Известно, что остаток от деления многочлена на линейный множитель равен нулю, если и только если значение многочлена равно нулю при помощи подстановки корня этого множителя.

В нашем случае, значение многочлена ax^3 + 3x^2 + x - 1 равно нулю при x = 1 и x = -1, так как (1)^2 - 1 = 0 и (-1)^2 - 1 = 0.

Подставим x = 1 в наш многочлен и приравняем его к нулю:

a(1)^3 + 3(1)^2 + (1) - 1 = 0
a + 3 + 1 - 1 = 0
a + 3 = 0
a = -3

Таким образом, a = -3.

Теперь подставим x = -1 в наш многочлен и приравняем его к нулю:

a(-1)^3 + 3(-1)^2 + (-1) - 1 = 0
-a + 3 - 1 - 1 = 0
-a + 1 = 0
a = 1

Таким образом, a = 1.

Итак, при a = -3 и a = 1 многочлен 2x^4 + ax^3 + x^2+ x - 1 делится без остатка на x^2 - 1.