1) cosx≥0 - так как под корнем четной степени. sinx≥0, так как иначе Значит, решения могут быть только в I квадранте (включая границы). 2) Очевидно, что x1=2πn и x2=π/2+2πn являются решениями данного уравнения. В первом случае sinx=0, cosx=1, во втором sinx=1, cosx=0. 3) Покажем, что других корней быть не может. Найдем производную функции Так как x - в первом квадранте, то sinx постоянно возрастает, cosx постоянно убывает, значит "первая часть" в производной постоянно убывает от +∞ (справа при стремлении к 0) до 0 (в π/2), а "вторая часть" постоянно возрастает от 0 (в 0) до +∞ при стремлении к π/2. Это значит, что производная положительна до некого x_max на [0;x_max) и отрицательна на (x_max;π/2], принимая одно нулевое значение в x_max на отрезке [0;π/2] Так как на концах отрезка [0;π/2] рассматриваемая функция принимает значения, равные 1, во всех остальных точках отрезка [0;π/2] она принимает значения строго больше 1. Следовательно, других корней исходного уравнения нет.
![\sqrt[2017]{sinx} \ \textless \ 0, \sqrt[2018]{cosx} \leq 1, \sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx}\ \textless \ 1](/tpl/images/0844/7646/e10fa.png)
![f(x)=\sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx}](/tpl/images/0844/7646/4fd4d.png)
![f'(x)=(\sqrt[2017]{sinx} + \sqrt[2018]{cosx})'= \frac{cosx}{2017\sqrt[2017]{sin^{2016}x} } -\frac{sinx}{2018\sqrt[2018]{cos^{2017}x} }](/tpl/images/0844/7646/a2e22.png)
![\frac{cosx}{2017\sqrt[2017]{sin^{2016}x} }](/tpl/images/0844/7646/3b01c.png)
![\frac{sinx}{2018\sqrt[2018]{cos^{2017}x} }](/tpl/images/0844/7646/c7532.png)
Нужно узнать, сколько двоек содержится в 80!
80! = 1*2*3*4*5*...*79*80
В произведении 40 четных чисел: 2*4*6*... 78*80
80! можно разделить на
Аналогично, в произведении осталось 20 четных чисел: 2,4,...38,40
Их произведение можно разделить на
Аналогично, в произведении осталось 10 четных чисел: 2,4,...18,20
Их произведение можно разделить на
Аналогично, в произведении осталось 5 четных чисел: 2,4,6,8,10
Их произведение можно разделить на
Осталось 2*4 =
Итого 80! можно разделить на число
ответ: максимальное натуральное число n=26