Question

Решите уравнение
6 sin²(x) + 2 sin² (2x) = 5
выразите sin²(x) через cos(2x)​

Answer 1

Используемые формулы:

$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$

$\sin^22x=1-\cos^22x$

Решаем уравнение:

$6\sin^2x + 2\sin^22x = 5$

$6\cdot\dfrac{1-\cos2x}{2}+ 2\cdot(1-\cos^22x) = 5$

$3\cdot(1-\cos2x)+ 2\cdot(1-\cos^22x) = 5$

$3-3\cos2x+ 2-2\cos^22x - 5=0$

$-2\cos^22x -3\cos2x=0$

$-2\cos2x\left(\cos2x+\dfrac{3}{2}\right)=0$

$\left[\begin{array}{l} -2\cos2x=0\\ \cos2x+\dfrac{3}{2}=0\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \cos2x=0\\ \cos2x=-\dfrac{3}{2}\end{array}$

$\left[\begin{array}{l} 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \\ 2x\in \varnothing\end{array}$

$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Уравнение $\cos2x=-\dfrac{3}{2}$ не имеет решений, так как косинус не принимает значений, меньше -1.

ответ: $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$