Объяснение:
Сначала выведем формулу У(х)
(4x - 4)*y = - 4*x
y = - 4*x/(4*(x-1) = - x/(x-1) - функция для анализа.
1. Область определения функции - ООФ.
Не допускается деление на 0 в знаменателе.
x -1 ≠ 0. x≠ 1
D(y) = R\{1} = (-∞;1)∪(1;+∞) - ООФ.
2. Вертикальная асимптота - x = 1 - разрыв II-го рода.
3. Пересечение с осями координат.
С осью ОХ: числитель равен 0. X0 = 0 - нуль функции.
С осью ОУ: y(0) = 0.
4. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: y(x)>0: X∈(0;1).
Отрицательна: y(x)≥0: X∈(-∞;0]∪(1;+∞).
5. Проверка на чётность.
y(-x) = х/(-x-1) - функция общего вида.
6. Первая производная - поиск экстремумов.
y'(x) = -x/(x-1)² -1/(x-1) = 1/(x-1)² = 0
Корней нет. Разрыв при Х = 1.
7. Локальные экстремумы в точке разрыва..
минимум:Ymin = lim{x-> 1-} . Ymin= -∞.
максимум:Ymax = \lim{x-> 1+} y(x) = +∞
8. Интервалы монотонности.
Производная положительная - функция возрастает во всем интервале существования..
Возрастает: X∈(-∞;1)∪[1;+∞).
9. Вторая производная - поиск точек перегиба.
y"(x) = - 2/(x-1)³ = 0
Корней нет.
10. Поведение функции.
Выпуклая - "горка" - X∈(1;+∞).
Вогнутая - "ложка" - X∈(-∞;1)
11. Наклонная асимптота: y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = lim (-1/(x-1) = 0 - наклона нет.
b = lim(+∞)Y(x) - 0*x = -x/(x-1) = -1 - сдвиг по оси ОУ.
Горизонтальная асимптота: y = -1.
12. Рисунок с графиками исследования - в приложении.
в прямоугольном треугольнике СВН угол В = 45 градусов (по условию), тогда угол ВСН = 90 - 45 = 45 градусов => треугольник равнобедренный, ВН = СН.
известно, что ВС = 6, пусть АН = ВН = х,
тогда по теореме Пифагора ВС^2 = ВН^2 + СН^2
36 = х^2 + x^2; 36 = 2x^2; x^2 = 18; х = корень из 18;
треугольник АНС - прямоугольный.
угол А = 60 градусов (по условию), тогда угол НСА = 90 - 60 = 30 градусов.
пусть АС = 2х, тогда АН = х (так как катет, лежащий против угла, равного 30 градусов, равен 1/2 гипотенузы).
по теореме Пифагора АС^2 = АН^2 + НС^2
4х^2 = 18 + х^2; 4х^2 - х^2 = 18; 3х^2 = 18; х^2 = 6; х = корень из 6;
тогда Ас = 2х = 2 корня из 6
ответ: 2 корня из 6