Question

Аrccos(4x²-3x-2)+arccos(3x²-8x-4)=П

Answer 1

$\arccos(4x^2-3x-2)+\arccos(3x^2-8x-4)=\pi$

$\arccos(4x^2-3x-2)=\pi -\arccos(3x^2-8x-4)$

Используя свойство $\arccos(-\alpha )=\pi-\arccos \alpha$, получим:

$\arccos(4x^2-3x-2)=\arccos(-3x^2+8x+4)$

ОДЗ:

$\begin{cases} -1\leq 4x^2-3x-2\leq1 \\ -1\leq-3x^2+8x+4\leq1 \end{cases}$

Учитывая это ограничение можно перейти от равенства арккосинусов к равенству их аргументов:

$4x^2-3x-2=-3x^2+8x+4$

$7x^2-11x-6=0$

$D=(-11)^2-4\cdot7\cdot(-6)=121+168=289$

$x_1=\dfrac{11+17}{2\cdot7} =2$

$x_2=\dfrac{11-17}{2\cdot7} =-\dfrac{3}{7}$

При полученных значениях х выражения $4x^2-3x-2$ и $-3x^2+8x+4$ равны. Остается проверить, принимают ли они значения из отрезка от -1 до 1.

$4\cdot2^2-3\cdot2-2=16-6-2=8\notin[-1;\ 1]$ - посторонний корень

$4\cdot\left(-\dfrac{3}{7}\right) ^2-3\cdot\left(-\dfrac{3}{7}\right) -2=4\cdot\dfrac{9}{49}+\dfrac{9}{7} -2=\dfrac{36}{49}+\dfrac{63}{49} -\dfrac{98}{49} =\dfrac{1}{49} \in[-1;\ 1]$

Итак, единственный корень уравнения $x=-\dfrac{3}{7}$.

ответ: -3/7