Question

решить (2x + ln(x-2a))^2 = (2x - ln(x+2a))^2
найдите все значения а при которых уравнение имеет единственный корень на отрезке [0;1]

Answer 1

Для начала, давайте приведем уравнение к более простому виду.

(2x + ln(x-2a))^2 = (2x - ln(x+2a))^2

Раскроем квадраты:

(2x + ln(x-2a))(2x + ln(x-2a)) = (2x - ln(x+2a))(2x - ln(x+2a))

Раскроем скобки:

4x^2 + 2xln(x-2a) + 2xln(x-2a) + (ln(x-2a))^2 = 4x^2 - 2xln(x+2a) - 2xln(x+2a) + (ln(x+2a))^2

Сократим одинаковые слагаемые:

4x^2 + 4xln(x-2a) + (ln(x-2a))^2 = 4x^2 - 4xln(x+2a) + (ln(x+2a))^2

Теперь перенесем все слагаемые в одну часть и сократим слагаемые:

4xln(x-2a) + (ln(x-2a))^2 + 4xln(x+2a) - (ln(x+2a))^2 = 0

Обозначим ln(x-2a) как u и ln(x+2a) как v, получим:

4xu + u^2 + 4xv - v^2 = 0

Перенесем все слагаемые в одну часть:

u^2 - v^2 + 4xu + 4xv = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов и сгруппируем слагаемые:

(u + v)(u - v) + 4x(u + v) = 0

(u + v)(u - v + 4x) = 0

Так как произведение двух чисел равно нулю, то одно из них должно быть равно нулю:

u + v = 0 или u - v + 4x = 0

Перепишем это в виде уравнений:

u = -v или u = v - 4x

Теперь заменим u и v обратно:

ln(x - 2a) = -ln(x + 2a) или ln(x - 2a) = ln(x + 2a) - 4x

Рассмотрим каждое уравнение отдельно:

Уравнение 1: ln(x - 2a) = -ln(x + 2a)

Применим свойство логарифма: ln(a) = -ln(b) эквивалентно a = 1/b:

x - 2a = 1/(x + 2a)

Перемножим обе части уравнения на (x + 2a):

(x - 2a)(x + 2a) = 1

Раскроем скобки:

x^2 - (2a)^2 = 1

Упростим:

x^2 - 4a^2 = 1

Решим это уравнение относительно x:

x^2 = 1 + 4a^2

x = ±√(1 + 4a^2)

Уравнение 2: ln(x - 2a) = ln(x + 2a) - 4x

Применим свойство логарифма: ln(a) = ln(b) эквивалентно a = b:

x - 2a = x + 2a - 4x

Упростим:

-6x - 4a = 0

Решим это уравнение относительно x:

x = -2a/3

Теперь осталось найти значения а, при которых уравнение имеет единственный корень на отрезке [0;1].
Для этого подставим полученное значение x в исходное уравнение и проверим, сколько корней имеет уравнение.

Подставим x = ±√(1 + 4a^2):

(2(±√(1 + 4a^2)) + ln(±√(1 + 4a^2) - 2a))^2 = (2(±√(1 + 4a^2)) - ln(±√(1 + 4a^2) + 2a))^2

Вычислим логарифмы:

(2(±√(1 + 4a^2)) + ln(±√(1 + 4a^2) - 2a))^2 = (2(±√(1 + 4a^2)) - ln(±√(1 + 4a^2) + 2a))^2

Теперь проверим, сколько корней имеет это уравнение на каждом из интервалов [0;1], (-∞;-√(1 + 4a^2)) и (√(1 + 4a^2);+∞).

При подстановке x = -2a/3:

(2(-2a/3) + ln(-2a/3 - 2a))^2 = (2(-2a/3) - ln(-2a/3 + 2a))^2

( -4a/3 + ln(-8a/3))^2 = ( -4a/3 - ln(-4a/3))^2

Получаем одну ветку уравнения, и она будет иметь единственный корень на отрезке [0;1] при всех значениях а.

Итак, уравнение имеет единственный корень на отрезке [0;1], когда x = -2a/3 и x = ±√(1 + 4a^2).