Question

√x + √x - 3 = 43 – 6x - x²​

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=43-6x-x^2$

Рассмотрим левую часть уравнения.

Введем функцию $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-3}$.

$f(x)=g_1(x)+g_2(x)$, где $g_1(x)=\sqrt{x}$ и $g_2(x)=\sqrt{x-3}$.

Т.к. $g_1(x)$ и $g_2(x)$ возрастающие функции, то $g_1(x)+g_2(x)$ возрастающая функция.

Значит $f(x)$ возрастающая и расположена по правую сторону от оси ординат.

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию $f'(x)=43-6x-x^2$.

$f'(x)$ - парабола, ветви которой направлены вниз.

Определим координаты вершины параболы:

$x_0=\dfrac{6}{-2}=-3\\y_0=43+18-9=52$

Вершина расположена во второй четверти, а значит правее оси ординат функция убывает.

Возрастающая и убывающая функции имеют не более одного решения.

Попробуем подобрать корень уравнения.

Пусть x=4:

$\sqrt{4}+\sqrt{4-3}=43-6\times4-4^2\\3=3$

Равенство верно.

Поэтому x=4 единственный корень уравнения.

Уравнение решено!