Поліанна – 12-річна дівчинка, в якої померли батьки. На всьому світі у неї залишилася тільки тітка Поллі. До речі ім'я дівчинки складено з імен двох сестер: тієї самої тітки і імені матері – Ганни. Мама маленької героїні померла кілька років тому, а батько – зовсім недавно, і тепер дівчинці доведеться жити у тітки — сухий, манірної дами, яка сприймає виховання племінниці як виконання боргу. Тітка Поллі переживає, що дитина може зіпсувати оздоблення кімнат і поселяє дівчинку на горищі.
Полліанна приїжджає поїздом, з собою у неї валіза, правда, напівпорожня. Основний багаж дівчинки — книги, які дісталися в спадок від батька. Полліанна знайомиться з тіткою, а потім піднімається в свою нову кімнату. Служниця Ненсі, допомагає дівчинці розібрати речі, здивована тим, що дівчинці сподобалося своє горище.
Весь будинок в цілому має розкішну обробку і затишний, а в приміщенні, де буде жити маленька сирота, звичайно, є все необхідне: ліжко, комод, шафа, стільці, але немає ні картин, ні килимів, які так сподобались Полліанні внизу, ні навіть дзеркала. Дівчинка пояснює, що з таким видом з вікна не потрібні картини, а в дзеркалі вона бачила свої веснянки і розчаровувалася. І навіть те, що у неї так небагато речей — теж добре, адже для того, щоб розкласти їх по шафах потрібно зовсім небагато часу.
Час йде і виявляється, що Полліанна завжди така — радіє кожній дрібниці, і навіть в неприємностях вміє знаходити щось хороше. Виявилося, що це така гра. Їй навчив дівчинку її батько. Одного разу Поллианні на Різдво дісталися в подарунок милиці, і тато сказав, що це дуже добре, що вони їм не потрібні. З тих пір вона так і грає, прагнучи знаходити привід для радощів навіть у самих сумних речах.
Через кілька місяців трапляється нещастя. Переходячи дорогу, Полліанна потрапляє під машину. Доктора кажуть, що ходити вона ніколи не буде. Дівчинка більше не може грати в свою гру. І тут усі жителі містечка, які дізналися і полюбили маленьку сироту за її життєлюбність, починають приходити в будинок і розповідають як вони самі змінилися завдяки її грі. Це підтримує дівчинку. Навіть її тітка сильно змінилася, ставши куди м'якше характером. Тепер вона сильно переживає за свою племінницю і зовсім не з почуття обов'язку. Її бажання до дівчинці таке велике, що вона навіть згодна помиритися з колишнім нареченим, за якого так і не вийшла заміж. Тепер він — лікар. І тільки він може до Поліанні знову почати ходити.
Кінець у повісті радісний, як його головна героїня. Тітка Поллі виходить заміж за доктора, а її племінниця долає свою недугу. А ще дівчинка знайшла чому порадіти навіть у цієї хвороби. Якщо б вона не потрапила в аварію тітка не помирилася зі своїм нареченим. Чудова повість американської письменниці Елінор Портер і її головна героїня вчать нас тому, що в житті не можна впадати у відчай, щоб не трапилося. Тому що для радощів завжди є привід, треба тільки його знайти.
y1'=2(2x+1)*2
y1'(x0)=8x0+4=k1
y2'=2(x+2)
y2'(x0)=2x0+4=k2
параллельность равнасильна равенству k1 и k2
8x0+4=2x0+4
x0=0