Question

Решите как можно быстрее
sin^2 x+sin3x=cos^2 x+sinx

Answer 1

$x_{1}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$ $ n \in Z\\\\x_{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, $ $ n \in Z\\\\x_3=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n, $ $ n \in Z$

Объяснение:

Синус тройного угла:

$sin(3x)=sin(x+2x)=sin(x)\cdot cos(2x)+cos(x)\cdot sin(2x)=\\\\=sin(x)\cdot (1-2sin^2x)+cos(x)\cdot 2\cdot sin(x)\cdot cos(x)=sin(x)-2sin^3(x)+\\\\+2\cdot sin(x)\cdot (1-sin^2(x))=3\cdot sin(x)-4\cdot sin^3(x)$

Сведём в уравнении все функции к sin(x) :

$sin^2(x)+[3\cdot sin(x)-4\cdot sin^3(x)]=[1-sin^2(x)]+sin(x)\\\\-4\cdot sin^3(x)+2\cdot sin^2(x)+2\cdot sin(x)-1 =0$

Введем замену: t = sin(x), | t | ≤ 1

$-4t^3+2t^2+2t-1=0\\-2t^2\cdot (2t-1)+2t-1=0\\(2t-1)\cdot (1-2t^2)=0\\\\\left[\begin{array}{c}2t-1=0\\1-2t^2=0\end{array}\right \rightarrow\left[\begin{array}{c}t_1=\frac{1}{2} \\t_{2,3}=\pm \frac{\sqrt{2} }{2} \end{array}\right$

Для каждого из решений выполнено условие  | t | ≤ 1. Возвращаем замену:

$1) $ $ t_1=\frac{1}{2} \\\\sin(x)=\frac{1}{2} \\\\\left[\begin{array}{c}x_{1}=\frac{\pi}{6}+2\pi n, n \in Z\\\\x_{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n \in Z\end{array}$

$2) $ $ t_2=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\\left[\begin{array}{c}x_{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\\\\x_{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\end{array}$

$3) $ $ t_3=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\\left[\begin{array}{c}x_{5}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\\\\x_{6}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n, n \in Z\end{array}$

Заметим, что серии решений x₃ , x₄ , x₅ , x₆ можно объединить в единую серию решений

$x_3 = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n, n\in Z$