Question

№9. Докажите, что значение выражения
91^91 + 42^42+ 85^85
делится на 10.

Answer 1

Для доказательства, что значение выражения 91^91 + 42^42 + 85^85 делится на 10, мы можем использовать свойство остатка от деления.

Мы знаем, что для любого натурального числа а, если а делится на 10, то последняя цифра а равна 0. Таким образом, для доказательства, что значение данного выражения делится на 10, мы должны показать, что последняя цифра этого значения равна 0.

Давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности. Начнем с 91^91. Чтобы найти последнюю цифру этого числа, мы можем возвести 91 в 91-ю степень, а затем взять остаток от деления на 10.

91 возводим в степень:

91^1 = 91
91^2 = 8281
91^3 = 753571
91^4 = 68574961
...

Мы видим, что последняя цифра каждого нового числа - всегда 1. Поэтому последняя цифра 91^91 также будет 1.

Теперь рассмотрим 42^42. Аналогично, чтобы найти последнюю цифру этого числа, мы возводим 42 в 42-ю степень и берем остаток от деления на 10.

42^1 = 42
42^2 = 1764
42^3 = 74088
42^4 = 3111696
...

Последняя цифра каждого нового числа также равна 2. Значит, последняя цифра 42^42 будет 2.

Наконец, рассмотрим 85^85.

85^1 = 85
85^2 = 7225
85^3 = 614125
85^4 = 52200625
...

Последняя цифра каждого нового числа - всегда 5. Значит, последняя цифра 85^85 будет 5.

Теперь сложим последние цифры каждого слагаемого:

1 + 2 + 5 = 8.

Мы знаем, что сумма 1 + 2 + 5 равна 8, и 8 не делится на 10. Значит, последняя цифра исходного выражения не равна 0, и значение выражения 91^91 + 42^42 + 85^85 не делится на 10.

Таким образом, мы не можем доказать, что значение данного выражения делится на 10.