Question

Найдите коэффициент при Хн в разложении бинома Ньютона ​

Answer 1

$\boxed {(a+b)^8=a^8+C_8^1a^7b+C_8^2a^6b^2+C_8^3a^5b^3+C_8^4a^4b^4+C_8^5a^3b^5+C_8^6a^2b^6+C_8^7ab^7+b^8}$

$a=\sqrt{x}\ ,\ \ b=-\dfrac{2}{x}\\\\\Big(\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}\Big)^8=x^4-8\cdot x^{\frac{7}{2}}\cdot \dfrac{2}{x}+28\cdot x^3\cdot \dfrac{4}{x^2}-56\cdot x^{\frac{5}{2}}\cdot \dfrac{8}{x^3}+70\cdot x^2\cdot \dfrac{16}{x^4}-\\\\\\-56\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot \dfrac{32}{x^5}+28\cdot x\cdot \dfrac{64}{x^6}-8\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot \dfrac{128}{x^7}+\dfrac{256}{x^8}=\\\\\\=x^4-16x^{\frac{5}{2}}+112x-448x^{-\frac{1}{2}}+1120x^{-2}-1792x^{-\frac{7}{2}}+1792x^{-5}-1024x^{-\frac{13}{2}}+\\\\+256x^{-8}$

Показателя степени  $n=-4$  в разложении по биному Ньютона нет. Поэтому коэффициент перед   $x^{-4}$  равен 0 .

Коэффициент перед   $x^4$  равен 1 .

$P.S.\ \ \ \ C_{n}^{k}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$