Question

Докажите выражение: sin(a) - sin(b) = 2cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)
Для удобства закинул его же во вложение.

Answer 1

Объяснение:

Используем то, что

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\\\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$

Найдем разность этих формул

$\sin (a+b)-\sin(a-b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\\-\sin a\cos b+\sin b\cos a=2\sin a\cos b$

Тогда сделаем замену

$a+b=x\\a-b=y$

Получим, что

$\displaystyle \left \{ {{a+b=x} \atop {a-b=y}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{2a=x+y} \atop {a+b=x}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a=\dfrac{x+y}{2}} \atop {b=\dfrac{x-y}{2}}} \right.$

Делаем замену

$\sin (a+b)-\sin(a-b)=2\sin a\cos b=\sin x-\cos x=2\sin \dfrac{x+y}2\cos \dfrac{x-y}2$

ЧТД

Answer 2

Доказательство:

Распишем правую часть через формулы косинус суммы и синус разности :

$cos(\frac{a+b}{2} )=cos(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} )-sin(\frac{a}{2} )\cdot sin(\frac{b}{2} )\\\\sin(\frac{a-b}{2} ) = sin(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} ) - sin(\frac{b}{2} )\cdot cos(\frac{a}{2} )\\\\$

Перемножим и приведём подобные:

$cos(\frac{a+b}{2} )\cdot sin(\frac{a-b}{2} )=\\\\=\bigg[cos(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} )-sin(\frac{a}{2} )\cdot sin(\frac{b}{2} )\bigg]\cdot \bigg[sin(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} ) - sin(\frac{b}{2} )\cdot cos(\frac{a}{2} )\bigg]=\\\\$

$=sin(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{a}{2} )\cdot cos^2(\frac{b}{2})- sin(\frac{b}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} )\cdot cos^2(\frac{a}{2})-sin(\frac{b}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} )\cdot sin^2(\frac{a}{2})+\\\\+sin(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{a}{2} )\cdot sin^2(\frac{b}{2})= sin(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{a}{2} )\cdot\{cos^2\frac{b}{2} +sin^2\frac{b}{2}\}-\\\\-sin(\frac{b}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} )\cdot\{cos^2\frac{a}{2} +sin^2\frac{a}{2}\} =$

$=sin(\frac{a}{2} )\cdot cos(\frac{a}{2} )-sin(\frac{b}{2} )\cdot cos(\frac{b}{2} )$

Умножим полученную разность на 2 и воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$2\cdot \bigg[sin(\frac{a}{2})\cdot cos(\frac{a}{2} ) - sin(\frac{a}{2})\cdot cos(\frac{a}{2}) \bigg] = 2\cdot sin(\frac{a}{2})\cdot cos(\frac{a}{2}) - 2\cdot sin(\frac{b}{2})\cdot cos(\frac{b}{2})=\\\\=sin(a)-sin(b)$

Ч. т. д