Question

Докажите, что возрастающая или убывающая функция приобретает каждого своего значения только в одной точке ее области определения.
Доведіть, що зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Answer 1

Пусть функция $y=f(x)$ возрастает на всей области определения.

Предположим, что для некоторых значений аргумента $x=a_1$ и $x=a_2$ выполняется соотношение $f(a_1)=f(a_2)$. Рассмотрим три ситуации:

1. $a_1$ - но по определению возрастающей функции меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $f(a_1)$ - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

2. $a_1=a_2$ - две точки равны между собой, значит и значения функции в них также равны, вышеприведенное равенство выполняется

3. $a_1a_2$ - аналогично, по определению возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции: $f(a_1)f(a_2)$ - противоречие вышеприведенному равенству значений функции

Таким образом, при любых $a_1\neq a_2$ не может выполняться равенство $f(a_1)=f(a_2)$. Это означает, что возрастающая функция не может принимать одно и то же значение в двух различных точках. Или по другому, возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке.

Для убывающей функции доказательство аналогичное с той лишь разницей, что случаю $a_1$ соответствует условие $f(a_1)f(a_2)$, а случаю $a_1a_2$ - условие $f(a_1)$. Но опять же, разным значениям аргумента не могут соответствовать равные значения функции.