Question

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{5^nx^n}{3^nn^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{3^nn^4}}=\dfrac{5}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{3}{5}$

А значит интервал сходимости $x\in(-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5})$

Исследуем на концах:

$x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4}$ - сходится как обобщенный гармонический ряд с $k=41$

$x=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

Заметим, что ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^\infty |b_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4}$ сходится (по доказанному ранее). А значит и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}$ сходится

А тогда исходный ряд сходится на $\left[-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5}\right]$