2^3=1!+1!+3!, 2^2=1!+1!+2!, 2^5=2!+3!+4!, 2^7=2!+3!+5!
Объяснение:
Заметим, что:
1) т.к. n - натуральное, то 2^n четно
2) x! четно для любого натурального x, большего 1 (и правда, ведь в разложении на простые множители будет присутствовать по крайней мере одна 2), а 1!=1 - нечетно
3) Сумма 3 слагаемых a!, b! и c! равна четному числу тогда, и только тогда, когда одно из слагаемых четно, а четности двух других совпадают.
Тогда возможны 2 случая:
1. Два нечетных слагаемых и одно четное. Тогда нечетные слагаемые равны 1! Пусть, без ограничения общности, a=b=1, c>1. Тогда
2^n=2+c! [оценка: 2^n>=2+1=3>2 => n>1]
2(2^(n-1)-1)=c!
Если c>=4, то 2(2^(n-1)-1) делится на (2*4) => (2^(n-1)-1) делится на 4. Но 2^(n-1) для n>1 дает остатки 2 или 0 при делении на 4 => (2^(n-1)-1) дает остатки 1 или 3 при делении на 4, но не 0. Противоречие. А значит с<4.
с=3: 2^(n-1)-1=3 => 2^(n-1)=4 => n-1=2 => n=3
c=2: 2^(n-1)-1=1 => 2^(n-1)=2 => n-1=1 => n=2
2. Все слагаемые четны. Тогда a,b,c>1.
Пусть, без ограничения общности, a<=b<=c. Тогда c! и b! делятся на a!. А тогда и сумма a!+b!+c! делится на a!. Значит и 2^n делится на a!.
Если a>2, то a! делится на 3 => 2^n делится на 3 - противоречие.
Значит a=2.
2^n=2+b!+c!, 2<=b<=c [оценка: 2^n>=2+2+2=6>4 => n>2]
Если b>=4, то c>=4. При этом b! и c! кратны (2*4). Тогда 2^n-2=2(2^(n-1)-1) кратно 2*4 => (2^(n-1)-1) кратно 4. По доказанному выше, это невозможно.
Значит b<4.
b=2: 2^n=4+c!, c>=2
4(2^(n-2)-1)=c! , т.е. с! кратно 4. А значит с>=4. Но тогда 4(2^(n-2)-1) кратно (2*4) => (2^(n-2)-1) кратно 2, т.е. нечетное число (т.к. n>2) кратно 2 - противоречие.
b=3: 2^n=8+c!, c>=3 [оценка: 2^n>=8+6=14>8 => n>3]
8(2^(n-3)-1)=c! , т.е. с! кратно 8. А значит с>=4.
c=4: 8(2^(n-3)-1)=8*3 => 2^(n-3)-1=3 => n-3=2 => n=5
c=5: 8(2^(n-3)-1)=8*15 => 2^(n-3)-1=15 => n-3=4 => n=7
Если c>=6, то с! делится на 2*4*2=8*2. Тогда 8(2^(n-3)-1) делится на 8*2 => (2^(n-3)-1) делится на 2, т.е. нечетное число (т.к. n>3) кратно 2 - противоречие.
Решить неравенство
1) log₃(2^(x/2) +2) - log₉(2ˣ -12) > 1 ;
2) log₁₆ (3ˣ -5 ) - log₄ (3^(x/2) +5) ≤ -1.
ответ: 1) (2+log₂³ ; 4 ) ; 2) x ∈ (log₃⁵; 2 ] .
Объяснение:
1) ОДЗ : 2ˣ -12 >0 , || 2ˣ >4*3 ; x > 2+log₂³ ||
Замена: t =2^(x/2) > 0 || 2ˣ = t² ||
log₃(t +2) - log₉(t² -12) >1 ⇔log₃(t +2) -(1/2)*log₃(t² -12) >1 ⇔
2log₃(t +2) - log₃(t² -12) >2 ⇔log₃(t +2)² > og₃(t² -12) +og₃9 ⇔
log₃(t²+4t+4) > og₃9(t² -12) . || 3>1 || t²+4*t+4 > 9(t² -12) ⇔
8t² - 4t -112 < 0 ⇔ 2t²- t -28 < 0 ⇔2(t +7/2)( t - 4) <0 || 2(t +7/2) >0 ||
⇔ t-4 <0 ⇔ t< 4 обратная замена: 2^(x/2) < 4 ⇔ 2^(x/2) <2² ⇔x/2 <2 ⇔
x < 4, учитывая ОДЗ → ответ : 2+log₂³ < x < 4 , иначе x∈ (2+log₂³ ; 4 ).
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2) ОДЗ : 3ˣ -5 >0 , || 3ˣ >5 ; x > log₃⁵ ||
Замена: t =3^(x/2) > 0 || 3ˣ = t² ||
log₁₆ (t² -5 ) - log₄ (t +5) ≤ -1 ⇔(1/2)og₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5) - 1 ⇔
log₄ (t² -5 ) ≤ 2log₄ (t +5) - 2 ⇔log₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5)² - log₄ ¹⁶ ⇔
log₄ (t² -5 ) ≤ log₄ (t +5)² /16 || 4>1 || ⇔ t² -5 ≤ (t² +10t +25)/16 ⇔
16t² - 80 ≤ t² +10t +25 ⇔15t² -10t -105 ≤ 0 ⇔3t² -2t -21 ≤ 0 ⇔
3(t +7/3)((t - 3) ≤ 0 || t +7/3 >0 || ⇔ t - 3 ≤ 0 ⇔ t ≤ 3 .обратная замена: 3^(x/2) ≤ 3 ⇔ ⇔x/2 ≤1 ⇔x ≤ 2 , учитывая ОДЗ → ответ : log₃⁵ < x ≤ 2 , иначе x∈ (log₃⁵ ; 2] .
ответ: -7/25
Объяснение: применим формулу синуса разности двух углов 1)sin(arccos 4/5 - arccos 3/5)= sin(arccos 4/5 )·Сos(arccos3/5) - Cos(arccos 4/5)·Sin (arccos 3/5)⇒
2) Так как Sin(arccos a)= √(1-a²), то (arccos 4/5 )= √(1-(Сos²(arccos 4/5))²= √(1-16/25)= √(9/25)=3/5;
3) Сos(arccos 3/5)= 3/5
4) Cos(arccos 4/5)=4/5
5) Sin (arccos 3/5)= √(1- 9/25)= √16/25= 4/5
6) Тогда, возвращаясь к 1) , имеем:
sin(arccos 4/5 - arccos 3/5)= sin(arccos 4/5 )·Сos(arccos3/5) - Cos(arccos 4/5)·Sin (arccos 3/5) = 3/5 · 3/5 - 4/5 ·4/5 = 9/25-16/25= - 7/25