А) (n+13)²-n²= =n²+2*13*n+13²-n²= =2n*13+13*13= =13(2n+13) делится на 13, потому что хотя бы один множитель делится на 13. б) (2n-5)²-(2n+1)²= =4n²-2*2n*5+5²-(4n²+2*2n*1+1²)= =4n²-20n+25-4n²-4n-1= =-24n+24= =24(1-n) делится на 24, потому что один из множителей делится на 24. в) (3n+1)²-(n-1)²= =9n²+2*3n*1+1²-(n²-2*n*1+1²)= =9n²+6n+1-n²+2n-1= =8n²+8n=8n(n+1). Рассмотрим два случая. По условию n целое, пусть n=2k-1 нечетноe, тогда n+1=2k целое четное, тогда 8n(n+1)=8(2k-1)*2k=16k(2k-1) делится на 16. Пусть n=2k четное, соответственно n+1=2k+1 нечетное, тогда 8n(n+1)=8*2k(2k+1)=16k(2k+1) делится на 16. г) 2n³-2n=2n(n²-1)=2n(n-1)(n+1) n-1, n, n+1 три целых последовательных числа, хотя бы одно из них является четным и кратно 2, а одно точно кратно 3, значит они содержат в себе простые множители 2 и 3, пусть n=2k, n-1=2k-1, n+1=2k+1=3t, а значит 2n(n-1)(n+1)=2*2k(2k-1)3t=12kt(2k-1) делится на 12.
1) х²-3х-40>0
D=(-(-3))²-4×1×(-40)=9+169=169
x1=(-(-3)-√169)/2×1=(3-13)/2=-5
x2=(-(-3)+√169)/2×1=(3+13)/2=16/2=8
x∈(-∞;-5)и(8;+∞)
х⁺(-5)--₋(8)--⁺---х
2) х²>-5х+14
х²+5х-14>0
По теореме Виета:
х₁+х₂=-5
х₁×х₂=-14
х₁=-7
х₂=2
х---⁺---(-7)---₋---(2)---⁺---х
х∈(-∞;-7) и (2;+∞).
3) 10х²+2х+34>4х²-х+79
10х²+2х+34-4х²+х-79>0
6х²+3х-45>0
D=(-3)²-4×6×(-45)=9+1080=1089
x₁=(-3-√1089)/2×6=(-3-33)/12=-36/12=-3
x₂=(-3+√1089)/2×6=(-3+33)/12=30/12=5/2=2,5
x---⁺---(-3)---₋---(2,5)---⁺---x
x ∈(-∞;-3) и (2,5;+∞).
4) 2х²+14х-20>(х-6)²
2х²+14х-20-(х²-12х+36)>0
2х²+14х-20-х²+12х-36>0
х²+26х-56>0
D=(-26)²-4×1×(-56)=676+224=900
x₁=(-26-√900)/2×1=(-26-30)/2=-56/2=-28
x₂=(-26+√900)/2×1=(-26+30)/2=4/2=2
x---⁺---(-28)---₋---(2)---⁺---x
x∈(-∞;-28) и (2;+∞).