Наверное, проще всего, так:
Известно, что sqrt(ab)<=(a+b)/2.
Отсюда следует
sqrt(4a+1)=sqrt(1*(4a+1))<=(1+4a+1)/2=1+2a
sqrt(4b+1)<=(1+2b)
sqrt(4c+1)<=(1+2c)
Вот и всё, потому что дальше преобразования для 1 класса
(сумма корней)<=3+2(a+b+c)=3+2*1=5.
Больше нечего сказать.
Да, откуда первое неравенство(среднее геометрическое не больше среднего арифметического). Доказательств масса. Вот простенькое
(sqrt(a)-sqrt(b))^2>=0 Это понятно, кваодрат всегда неотрицателен.
а - 2*sqrt(ab) + b >=0 Это формула из букваря.
(a+b)/2 >= sqrt(ab) Просто перенесены слагаемые из угла в угол, НО это и есть наша формула.
Вот теперь всё.
Рассуждать буду так - корень квадратный из удвоенного числа должен быть равен корню кубическому из утроенного этого числа и получаемое число должно быть натуральным (не дробным).
∛(3x) = √(2x)
Чтобы избавится от иррациональности возведем обе части в 6ю степень
∛(3x)⁶ = √(2x)⁶
9х² = 8х³
9х² - 8х³ = 0
x²(9-8x) = 0
х = 0 - не является натуральным.
9 - 8х = 0
х = ⁹/₈ - не является натуральным
Увеличим число до натурального, сохраняя соотношения
n = 72
выполним проверку
2n = 144 = 12²
3n = 216 = 6³
Искомое натуральное число 72