1.√(7-3x)>5 ОДЗ: 7-3х≥0 Возводим обе части неравенства в квадрат: 7-3х> 25; Система: 7-3х≥0; 7-3х >25 равносильна неравенству 7-3х>25; -3x> 25-7; -3x > 18; x< -6. ответ. (-∞;-6). 2. √(2x+1)>-3 неравенство верно при любом х из ОДЗ. ОДЗ: 2х+1 ≥ 0 х ≥ -0,5 О т в е т. [-0,5;+∞) 3. √(3+2x)>=√(x+1) ОДЗ: 3+2х≥0 ⇒ x ≥ -1,5 х+1≥0 ⇒ x ≥-1 ОДЗ: х≥-1 Возводим неравенство в квадрат. 3+2х ≥ х+1; х ≥ -2 ответ с учетом ОДЗ х≥ -1 О т в е т. [-1;+∞)
4. √(8-2x)=<√(6x+15) ОДЗ: 8-2х ≥0 ⇒ х ≤ 4 6х+15≥0 ⇒ х≥-2,5 ОДЗ: - 2,5 ≤ х ≤ 4. Возводим неравенство в квадрат: 8 - 2х ≤ 6х + 15; -2х - 6х ≤ 15 - 8 - 8х ≤ 7 х ≥ -7/8 С учетом ОДЗ: О т в е т. [-7/8;4]
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: a) y = (2x + 50)/(x - 1), [1;10] Это гипербола у = 52/(х - 1) + 2 с точкой разрыва х = 1. Максимума функция не имеет, в том числе и на заданном промежутке. Минимум на заданном промежутке при х = 10, у = 70/9.
б) y=8 - 5x, [-1;1]. Это прямая, функция убывающая. Максимум на заданном промежутке при х = -1, у = 8+5=13. Минимум на заданном промежутке при х = 1, у = 8-5 = 3.
в) y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2]. При х = π cos = -1, тогда у = 3 + 1 = 4. Это максимум. Минимум равен 5/2 при х = π/3.
г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1] Производная y' = -x²+2x = -x(x - 2). Приравняв нулю, имеем 2 критические точки х = 0 и х = 2. У функции есть локальный максимум при х = 2 у = 40/3, минимум при х = 0. у = 12. Глобальных минимума и максимума нет.
№2.
Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей. у = 2х + (9-х)² = 2x + 81 - 18x + x² = x² - 16x + 81. y' = 2x - 16 = 2(x -8). Приравняем производную нулю: 2(x -8) = 0, х = 8. Проверяем: 2*8 + 1 = 17. х = 5 у = 2*5 + 9 = 19. Значит, первое слагаемое 1, а второе 8. у = 2 + 64 = 66. Проверим х = 2, у = 4 + 49 = 53 правильно.
№3.
Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей? Максимум площади при заданном периметре - у квадрата. S = (12/4)² = 9 м².
252x^2-(x+y)^2=(5x-x-y)(5x+x+y)=(4x-y)(6x+y) это если первый коэф все-таки 25, а не 252
252x^2-(x+y)^2=(6xV7-x-y)(6xV7+x+y)
252=36*7