Но [x] + ... + [x²⁰⁰³] = {x} - 1. Значит, {x} - 1 ∈ ℤ ∩ [-1; 0), то есть {x} - 1 = -1, или {x} = 0 ⇔ x ∈ ℤ.
Теперь переформулируем задачу.
Найдите все целые решения уравнения x²⁰⁰³ + ... + x + 1 = 0.
По следствию из теоремы Безу целые корни многочлена должны являться делителями свободного члена. В нашем случае свободный член - 1. У него два делителя: 1 и -1. Очевидно, что 1²⁰⁰³ + ... + 1 + 1 ≠ 0, а (-1)²⁰⁰³ + ... + (-1) + 1 = 0. Значит, имеем корень, равный -1. Других целых решений, как оговаривалось ранее, нет.
|х+2|-|2х+8|=а; Это уравнение можно решить методом интервалов. Находим нули модулей: х+2=0; х=-2; 2х+8=0; 2х=-8; х=-4. Получаем интервалы: (-∞;-4), [-4;-2), [-2;+∞). На этих интервалах модули имеют следующие знаки: (х+2): - - + (2х+8): - + + Раскрываем модули в соответствии со знаками: 1) -x-2+2x+8=a; a=x+6. 2) -x-2-2x-8=a; a=-3x-10. 3) x+2-2x-8=a; a=-x-6. Теперь построим графики функций, приняв а=у: у=х+6 на отрезке (-∞;-4); у=-3х-10 на отрезке [-4;-2); y=-x-6 на отрезке [-2;+∞). На графике хорошо видно, что одно решение это уравнение имеет при а=у=2. ответ: 2.
∀a ∈ ℝ: {a} ∈ [0; 1) ⇒ {x} - 1 ∈ [-1; 0).
∀a ∈ ℝ: [a] ∈ ℤ ⇒ [x] + ... + [x²⁰⁰³] ∈ ℤ.
Но [x] + ... + [x²⁰⁰³] = {x} - 1. Значит, {x} - 1 ∈ ℤ ∩ [-1; 0), то есть {x} - 1 = -1, или {x} = 0 ⇔ x ∈ ℤ.
Теперь переформулируем задачу.
Найдите все целые решения уравнения x²⁰⁰³ + ... + x + 1 = 0.
По следствию из теоремы Безу целые корни многочлена должны являться делителями свободного члена. В нашем случае свободный член - 1. У него два делителя: 1 и -1. Очевидно, что 1²⁰⁰³ + ... + 1 + 1 ≠ 0, а (-1)²⁰⁰³ + ... + (-1) + 1 = 0. Значит, имеем корень, равный -1. Других целых решений, как оговаривалось ранее, нет.
ответ: x = -1.