Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=х^-3 на промежутке [-3; -1]

Answer 1

$y(x)= {x}^{ - 3}$

$y'(x) = - 3 \times {x}^{ - 2} = - \frac{3}{ {x}^{2} }$

Экстремумы производной находятся там,где у'(х) = 0

$- \frac{3}{ {x}^{2} } = 0$

Данная дробь никогда не будет равна нулю. Поэтому подставляем данные нам значения

$y'( - 3) = - \frac{3}{ {3}^{2} } = - \frac{3}{9} = - \frac{1}{3}$

$y'( - 1) = - \frac{3}{ {1}^{2} } = - \frac{3}{1} = - 3$

ответ: наибольшее значение = -1/3, наименьшее = -3

Answer 2

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению наибольшего и наименьшего значения функции у=х^-3 на промежутке [-3; -1].

Для начала, нам нужно найти значения функции у=х^-3 на границах данного промежутка, то есть в точках -3 и -1.

Значение функции в точке -3 можно найти, подставив значение -3 вместо х в функцию. Таким образом, получим у = (-3)^-3. Чтобы вычислить это значение, нужно возвести -3 в степень -3, что равносильно взятию обратного значения -3 в кубе. Так как куб отрицательного числа также будет отрицательным, получим у = -1/(-3)^3 = -1/(-27) = 1/27.

Значение функции в точке -1 можно найти, подставив значение -1 вместо х в функцию. То есть у=(-1)^-3. Запишем это выражение как дробь, чтобы упростить вычисления: у = 1/(-1)^3. Так как (-1)^3 равно -1, получим у = 1/(-1) = -1.

Таким образом, мы получили значения функции у=х^-3 на границах промежутка [-3; -1]: наименьшее значение -1 и наибольшее значение 1/27.

Для определения точек, в которых функция может достичь наименьшего и наибольшего значения внутри промежутка, необходимо найти экстремумы функции. В данном случае, такая точка будет являться точкой минимума для значения -1, и точкой максимума для значения 1/27.

Экстремумы функций могут находиться в точках, где производная функции равна нулю или не определена. В данном случае, производная функции у=х^-3 будет равна:

у' = -3х^-4

Мы можем приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

-3х^-4 = 0

Поскольку -3 не равно нулю, нужно приравнять х^-4 к нулю:

х^-4 = 0

Так как степень х^-4 равная нулю может получиться только при х = 0, это будет точкой, в которой производная равна нулю.

Однако, мы видим, что точка х = 0 не входит в промежуток [-3; -1]. Поэтому функция не имеет экстремумов на этом промежутке.

Таким образом, наибольшее значение функции у=х^-3 на промежутке [-3; -1] равно 1/27, и оно достигается в точке х = -3. Наименьшее значение функции на этом промежутке равно -1 и достигается в точке х = -1.