Question

Вычислить предел функции не используя метод Лопиталя

Answer 1

Answer 2

ответ:$\dfrac1{2\pi}$Объяснение:1 Запишем

$\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{\b{tg}~\pi x}$

2 Умножим на 1

Представим 1 как дробь $\dfrac{\sqrt{x^2-x+1}+1}{\sqrt{x^2-x+1}+1}$

$\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{\b{tg}~\pi x} \cdot\dfrac{\sqrt{x^2-x+1}+1}{\sqrt{x^2-x+1}+1}$

3 Соберем все в одну дробь$\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\big(\sqrt{x^2-x+1}-1\big)\big(\sqrt{x^2-x+1}+1\big)}{\b{tg}~\pi x\cdot\big(\sqrt{x^2-x+1}+1\big)}$4 В числителе разность квадратов

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ где

$a=\sqrt{x^2-x+1}\\b=1$

$\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x+1-1}{\b{tg}~\pi x\cdot\big(\sqrt{x^2-x+1}+1\big)}$

5 Упростим числитель и представим предел произведения как произведение пределов$\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac1{\sqrt{x^2-x+1}+1} \cdot\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$6 Можно посчитать первый предел

$\displaystyle \dfrac1{\sqrt{1^2-1+1}+1} \cdot\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$

$\displaystyle \dfrac1{1+1} \cdot\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\b{tg}~\pi x}$

7 Представим тангенс как отношение синуса и косинуса$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\dfrac{\sin \pi x}{\cos \pi x}}$8 Вынесем косинус и посчитаем$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \cos \pi x\cdot\dfrac{x^2-x}{\sin \pi x}}$$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x^2-x}{\sin \pi x}}$9 Разложим на множители числитель$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x(x-1)}{\sin \pi x}}$$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} x\cdot\dfrac{x-1}{\sin \pi x}}$$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{x-1}{\sin \pi x}}$10 Умножим на 1

Представим 1 как отношение $\dfrac\pi\pi$

$\displaystyle \dfrac12\lim_{x\to1} \dfrac{\pi x-\pi}{\pi\sin \pi x}}$

11 Вынесем пи

$\dfrac1{2\pi}\displaystyle \lim_{x\to1} \dfrac{\pi x-\pi}{\sin \pi x}}$

12 Перед нами первый замечательный предел, так как

$\pi x-\pi \to 0$ при $x\to 1$

$\sin\pi x\to\sin \pi = 0$ при $x\to 1$

$\dfrac1{2\pi}\cdot 1$

ОТВЕТ $\dfrac1{2\pi}$