Question

Квадратное уравнение ax^2+bx+c=0 имеет ненулевые корни x_1 и x_2. Запишите квадратное уравнение с корнями 1/x_1 и 1/x_1 (укажите ограничения на коэффициенты a, b, `c).

Answer 1

$(\star )\ \ ax^2+bx+c=0\ ,\ a\ne 0\ \\\\x_1\ ,\ x_2\ -\ korni\ \ \ \Rightarrow \ \ \ teorema\ Vieta:\ \left\{\begin{array}{l}x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\\x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\end{array}\right\\\\\\(\star \star )\ \ x^2+px+q=0\ ,\ \ \dfrac{1}{x_1}\ ,\ \dfrac{1}{x_2}\ -\ korni\ \ \Rightarrow \ teor.\ Vieta:\left\{\begin{array}{c}\dfrac{1}{x_1}\cdot \dfrac{1}{x_2}=q\\\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=-p\end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x_1x_2}=q\\\\\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-p\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{c}\dfrac{1}{\frac{c}{a}}=q\\\\\dfrac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-p\end{array}\right\ \ \ \left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{a}{c}=q\\\\-\dfrac{b}{c}=-p\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{a}{c}=q\\\\\dfrac{b}{c}=p\end{array}\right$

$x^2+px+q=x^2+\dfrac{b}{c}\, x+\dfrac{a}{c}=\dfrac{cx^2+bx+a}{c}=0\ \ ,\ c\ne 0\ \ \ \Longrightarrow \\\\\\(\star \star )\ \ \underline {\ cx^2+bx+a\0\ \ \ ,\ \ a,c\ne 0\ }$

В квадратном уравнение  $(\star \star )$, которое имеет корни, обратные корням

квадратного уравнения  $(\star )$  , меняются местами коэффициенты  $a$  и  $c$ ,

причём  $a\ne 0\ ,\ c\ne 0$  .

Answer 2

Запишем данное уравнение в более удобном виде:

ax^2+bx+c=0; (предполагается, что а=/=0)

Теорема Виета:

x1*x2=c/a,

x1+x2=-b/a.

Новое уравнение ищем в виде:

Ax^2+Bx+C=0

Опять Виет: (при условии, что с=/=0)

C/A=1/x1*1/x2=1/(x1*x2)=a/c, отсюда C=(a/c)*A

-B/A=1/x1+1/x2=(x2+x1)/(x1*x2)=(-b/a)/(c/a)=-b/c, отсюда B=(b/c)*A

Итак, Ax^2+(b/c)*Ax+(a/c)*A=0, и окончательно:

cx^2+bx+a=0