по теореме Фалеса прямые проведеные через середину третьей стороны параллельные данным сторонам(прямым содержащим стороны) пройдут через середины этих сторон, т.е. поделят стороны а и b пополамА значит полученные отрезки будут средними линиями треугольниками. По свойству средней линии треугольника их длины будут равны половинам соотвествующих сторон, т.е. a/2 и b/2.Две другие стороны четырехугольника равны половинам соотвествующих сторон треугольника, т.е. a/2 и b/2.Периметр четырехугольника сумма длин всех его сторонпоэтому периметр полученного четырехугольника равенa/2+a/2+b/2+b/2=a+bответ: a+b
Пусть искомые основания исходной трапеции равны a и b, а средняя линия равна c. Пусть средние линии двух меньших трапеций равны соответственно равны d и e (см. рисунок). Как известно, средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит (a+b)/2=20 ⇒ a+b=40. Выразим через a и b отрезки d и e: d=(a+c)/2=(a+(a+b)/2)/2=(a+a/2+b/2)/2=(3a/2+b/2)/2=3a/4+b/4, e=(b+c)/2=(b+(a+b)/2)/2=(b+a/2+b/2)/2=(a/2+3b/2)/2=a/4+3b/4. Тогда разность средних линий малых трапеций будет равна: e-d=a/4+3b/4-3a/4-b/4=b/2-a/2=(b-a)/2. По условию задачи эта разность равна 12 см, значит (b-a)/2=12 ⇒ b-a=24. Составим и решим систему уравнений относительно a и b: Решим систему методом сложения: (1)+(2), получим 2b=64 ⇒ b=64/2=32 (см). Подставим получившийся результат в любое уравнение системы, например в (1): a+32=40 ⇒ a=40-32=8 (см). ответ: 8 см и 32 см.
