Арифметическая прогрессия
Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.
Содержание урока
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… - арифметическая прогрессия.
а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7…,
, d – разность арифметической прогреccии.
,
, ,
,
, .
1. Найти первый член а1 и разность d арифметической прогрессии в котором
d=-1.
ответ: а1=13, d=-1.
2. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессий выражается формулой . Найти первые три члена этой прогрессий.
ответ: 1; 9; 17.
3. Если третий и седьмой члены арифметической прогрессии соответственно равны 1, 1 и 2, 3, то шестнадцатый её член равен 1) 6, 2) 8, 3) 10,6, 4) 4,4, 5) 5.
а16=?
1,2=4·d
d=1,2/4
d=0,3
1,1-0,6=а1
a1=0,5
а16=а1+15·0,3=0,5+4,5=5.
ответ: №5
4. Если в арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов равна 10, первый член равен -3, то разность прогрессии равна 1)3, 2) 1, 3) 2, 4) -2, 5) .
d=?
а1+4·d=5,
-3+4·d=5,
4·d=8,
d=2.
ответ: №3
5. Если в арифметической прогрессии второй и шестой члены соответственно равны 0,8 и 2,4, то десятый член равен 1) 4, 2) 8,6, 3) 4,2, 4) 10,4, 5) 6.
а10=?
1,6=4·d, d=0,4,
0,8=0,4+a1, a1=0,4,
a10=a1+9·d=0,4+9·0,4=4.
ответ: №1
6. Сколько членов арифметической прогрессий нужно взять, чтобы их сумма равнялось 91. если её третий член равен 9, а разность седьмого и второго членов равна 20?
а1+6·d- а1-d=20,
5·d=20, d=4.
а1+2·d =9,
а1=9- 8=1,
D=b2-4·a·c=1+4·2·91=729,
ответ: n=7.
Пусть первая пропускает х литров воды в минуту, тогда вторая х+4.
у - время, за которое первая труба заполняет резервуар в 480 литров, тогда
(у-8) - время, за которое вторая труба заполняет резервуар в 384 литра.
Получается система уравнений:
ху = 480; (х+4)(у-8) = 384
х = 480/у; ху - 8х + 4у - 32=384;
х = 480/у; (подставляем во второе уравнение системы:)
480*у/у - 8*480/у + 4у - 32 - 384 = 0
480 - 3840/у + 4у - 416 = 0 (умножаем обе части равенства на у
480у - 3840 + 4у^2 - 416у = 0
4у^2 + 64 у - 3840 = 0 (делим обе части равенства на 4
у^2 + 16у - 960 = 0
По формуле высчитываем дискриминант:
Д = 16*16 - 4*1*(-960) = 256 + 3840 = 4096
у1 = (-16 + 64)/2*1 = 24
у2 = отрицательное число О_О
х = 480/у = 480/ 24 = 20
ответ: первая труба пропускает 20 литров воды в минуту
arcsina-это угол (или дуга).Обозначим угол arcsin3/5=α.Учтем, что sin2α=2sinαcosα.
sinα=sin(arcsin3/5)=3/5,
cos²α=1-sin²α=1-9/25=16/25, cosα=4/5, cosα=cos(arcsin3/5)=4/5.
sin2α=2*3/5*4/5=24/25
2)tg(2arcsin3/4)=tg2α=2tgα / (1+tg²α), где α=arcsin3/4 ⇒ sinα=3/4
tgα=tg(arcsin3/4)
1+ctg²α=1/sin²α ⇒ctg²α=1/sin²α-1, sin(arcsin3/4)=3/4, ctg²α=1/(9/16)-1=7/9, ctgα=√7/3=1/tgα,
tgα=3/√7
tg(2arcsin3/4)=(2*3/√7) / (1+9/7)=3√7/8