Question

Sin^2x+sin^22x-sin^23x=sin^24x​

Answer 1

Добрый день, я буду играть роль вашего школьного учителя и помогу вам решить задачу.

Рассмотрим данное уравнение:

sin^2x + sin^2(2x) - sin^2(3x) = sin^2(4x)

Для начала, давайте перепишем все синусы с квадратами в более простой форме, используя тригонометрические тождества.

Тригонометрическое тождество номер 1 гласит:

sin^2(θ) = (1/2)*(1 - cos(2θ))

Таким образом, мы можем переписать первый и третий члены уравнения:

(1/2)*(1 - cos(2x)) + (1/2)*(1 - cos(2*2x)) - (1/2)*(1 - cos(2*3x)) = sin^2(4x)

Упростим это уравнение, раскрыв скобки и умножив на (1/2):

1 - cos(2x) + 1 - cos(4x) - 1 + cos(6x) = 2*sin^2(4x)

Теперь объединим похожие члены:

2 - cos(2x) - cos(4x) + cos(6x) = 2*sin^2(4x)

Далее, воспользуемся тригонометрическим тождеством номер 2:

cos(θ) = sin(π/2 - θ)

Мы можем заменить углы 4x, 6x и 2x на sin-ы:

2 - sin(π/2 - 2x) - sin(π/2 - 4x) + sin(π/2 - 6x) = 2*sin^2(4x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество номер 3:

sin(α) - sin(β) = 2*sin((α - β)/2)*cos((α + β)/2)

Мы заменим два члена в левой части уравнения с помощью этого тождества:

2 - 2*sin((π/2 - 2x - π/2 + 4x)/2)*cos((π/2 - 2x + π/2 - 4x)/2) + sin(π/2 - 6x) = 2*sin^2(4x)

2 - 2*sin(2x/2)*cos(2x/2) + sin(π/2 - 6x) = 2*sin^2(4x)

2 - 2*sin(x)*cos(x) + sin(π/2 - 6x) = 2*sin^2(4x)

Теперь посмотрим на последний член в левой части уравнения: sin(π/2 - 6x)

Мы можем использовать тождество номер 2 для этого члена и переписать его в виде cos(6x):

2 - 2*sin(x)*cos(x) + cos(6x) = 2*sin^2(4x)

Итак, осталось решить это уравнение:

2 - 2*sin(x)*cos(x) + cos(6x) = 2*sin^2(4x)

2 - 2*sin(x)*cos(x) + cos(6x) = 2*(sin^2x*cos^2x)

Упростим это уравнение:

2 - 2*sin(x)*cos(x) + cos(6x) = 2*sin^2x*cos^2x

Избавимся от единицы:

1 - 2*sin(x)*cos(x) + cos(6x) = sin^2x*cos^2x

Перепишем правую часть в более простой форме:

1 - 2*sin(x)*cos(x) + cos(6x) = (sinx*cosx)^2

Отсюда мы видим, что левая часть уравнения равна правой части.

Теперь мы можем заключить, что исходное уравнение sin^2x + sin^2(2x) - sin^2(3x) = sin^2(4x) верно.