Question

Решите неравенство: log (24+2x-x^2) / 14 по основанию (25-x^2)/16 больше 1 !

Answer 1

$log_{\frac{25-x^{2}}{16}}( \frac{24+2x-x^{2}}{14})\ \textgreater \ 1$

ОДЗ:
1) $\frac{25-x^{2}}{16}\ \textgreater \ 0$
$25-x^{2}\ \textgreater \ 0$
$-5\ \textless \ x\ \textless \ 5$
2) $\frac{25-x^{2}}{16} \neq 1$
$25-x^{2} \neq 16$
$x^{2} \neq 9$
$x \neq +-3$
3) $\frac{24+2x-x^{2}}{14}\ \textgreater \ 0$
$24+2x-x^{2}\ \textgreater \ 0$
$x^{2}-2x-24\ \textless \ 0$
$x^{2}-2x-24=0, D=4+4*24=100$
$x_{1}= \frac{2-10}{2}=-4$
$x_{2}= \frac{2+10}{2}=6$
$-4\ \textless \ x\ \textless \ 6$
Объединяем решения пунктов 1)-3), получаем условие ОДЗ:
x∈(-4;-3)U(-3;3)U(3;5)

Решение неравенства:
$log_{\frac{25-x^{2}}{16}}( \frac{24+2x-x^{2}}{14})\ \textgreater \ log_{\frac{25-x^{2}}{16}}(\frac{25-x^{2}}{16})$

1. Если основание больше 1, то:
$\frac{24+2x-x^{2}}{14}\ \textgreater \ \frac{25-x^{2}}{16}$
при $\frac{25-x^{2}}{16}\ \textgreater \ 1$
$\frac{25-x^{2}-16}{16}\ \textgreater \ 0$
$9-x^{2}\ \textgreater \ 0$
$-3\ \textless \ x\ \textless \ 3$   (*)
Решаем неравенство при получившихся х:
$8*(24+2x-x^{2})\ \textgreater \ 7*(25-x^{2})$
$192+16x-8x^{2}\ \textgreater \ 175-7x^{2}$
$x^{2}-16x-17\ \textless \ 0$
$x^{2}-16x-17=0, D=324=18^{2}$
$x_{1}= \frac{16-18}{2}=-1$
$x_{2}= \frac{16+18}{2}=17$
$-1\ \textless \ x\ \textless \ 17$
Наложим условие (*), при котором решали это неравенство, получим:
$-1\ \textless \ x\ \textless \ 3$

2. Если основание логарифма лежит в пределах от 0 до 1, то:
$\frac{24+2x-x^{2}}{14}\ \textless \ \frac{25-x^{2}}{16}$
$\frac{25-x^{2}}{16}\ \textless \ 1$
$\frac{9-x^{2}}{16}\ \textless \ 0$
$9-x^{2}\ \textless \ 0$
$x\ \textless \ -3$
$x\ \textgreater \ 3$
Совместим с ОДЗ: x∈(-4;-3)U(3;5)  (**)
Решим неравенство при получившихся х:
$8*(24+2x-x^{2})\ \textless \ 7*(25-x^{2})$
$192+16x-8x^{2}\ \textless \ 175-7x^{2}$
$x^{2}-16x-17\ \textgreater \ 0$
$x\ \textless \ -1$
$x\ \textgreater \ 17$
Наложим условие (**), при котором решали это неравенство, получим:
$-4\ \textless \ x\ \textless \ -3$

3. Соединим оба полученных решения:
x∈(-4;-3)U(-1;3)