Question

Пусть х=(x1,x2,x3). Являются ли линейными следующие преобразования?

Answer 1

Для того чтобы определить, являются ли данные преобразования линейными или нет, необходимо проверить их свойства: сохранение операций сложения и умножения на число.

Первое преобразование:
F(x) = (x1 + 2, x2 + 3, x3 + 1)

Для проверки линейности, нужно проверить, выполняются ли следующие два свойства:
1. F(u + v) = F(u) + F(v) - сохранение сложения
2. F(ku) = kF(u) - сохранение умножения на число

1. Проверка сохранения сложения:
F(u + v) = ((u1 + v1) + 2, (u2 + v2) + 3, (u3 + v3) + 1)
= (u1 + 2 + v1 + 2, u2 + 3 + v2 + 3, u3 + 1 + v3 + 1)
= (u1 + 2, u2 + 3, u3 + 1) + (v1 + 2, v2 + 3, v3 + 1)
= F(u) + F(v)

2. Проверка сохранения умножения на число:
F(ku) = ((ku1) + 2, (ku2) + 3, (ku3) + 1)
= k(u1 + 2, u2 + 3, u3 + 1)
= kF(u)

Таким образом, первое преобразование является линейным.

Второе преобразование:
G(x) = (x1^2, x2^2, x3^2)

1. Проверка сохранения сложения:
G(u + v) = ((u1 + v1)^2, (u2 + v2)^2, (u3 + v3)^2)
= u1^2 + 2u1v1 + v1^2, u2^2 + 2u2v2 + v2^2, u3^2 + 2u3v3 + v3^2
≠ u1^2 + v1^2, u2^2 + v2^2, u3^2 + v3^2
≠ G(u) + G(v)

2. Проверка сохранения умножения на число:
G(ku) = ((ku1)^2, (ku2)^2, (ku3)^2)
= k^2(u1^2, u2^2, u3^2)
≠ kG(u)

Таким образом, второе преобразование не является линейным.

Итак, первое преобразование является линейным, а второе - нет.